Оценивание коинтеграционной регрессии: подход Энгла- Грейнджера
ность была бы эквивалентна проверке Y1t - XY2t на стационарность. Но в
практических проблемах обычно стационарная линейная комбинация неизвестна.
Значит, необходимо оценить коинтегрирущий вектор. Следует также проверить, действительно ли этот вектор дает стационарную линейную комбинацию.Простейшим методом отыскания стационарной линейной комбинации является метод Энгла-Грейнджера. Энгл и Грейнджер предложили использовать оценки, полученные из обычной регрессии с помощью метода наименьших квадратов. Одна из переменных должна стоять в левой части регрессии, другая — в правой:
Y1t = XY2t+ U.
Для тестирования стационарности полученной линейная комбинации предлагается применить метод Дики-Фуллера к остаткам из коинтеграцион-
ной регрессии. Пусть — u остатки из этой регрессии. Тест Энгла-Грейнджера проводится с помощью регрессии
л л
u = ри t-1 + остатки.
Распределение t-статистики для гипотезы р=1 в этой регрессии будет отличаться (даже асимптотически), от распределения DF-статистики, но имеются соответствующие таблицы. Нулевой гипотезой, таким образом, является
45
отсутствие коинтеграции. Если мы отвергаем гипотезу об отсутствии коинте- грации, то это дает уверенность в том, что полученные результаты не являются ложной регрессией.
Игнорирование детерминированных компонент ведет к неверным выводам о коинтеграции. Чтобы этого избежать, в коинтеграционную регрессию следует добавить соответствующие переменные — константу, тренд, квадрат тренда, сезонные фиктивные переменные. Добавление константы, тренда, и квадрата тренда, как и в случае DF, меняет асимптотическое распределение теста Энгла-Грейнджера. Следует помнить, что, в отличие от DF, регрессия, из которой берется t-статистика, остается неизменной, то есть в нее не нужно добавлять детерминированные регрессоры.
В МНК регрессии с коинтегрированными переменными оценки должны быть смещенными из-за того, что в правой части стоит эндогенная переменная, коррелированная с ошибкой. Кроме того, ошибка содержит пропущенные переменные.
Коинтеграционная регрессия Энгла-Грейнджера является статической по форме, то есть не содержит лагов переменных. С асимптотической точки зрения не приводит к смещенности оценок, поскольку ошибка является величиной меньшего порядка, чем регрессор, дисперсия которого стремится к бесконечности. Как уже говорилось, оценки на самом деле сверхсостоятельны. Однако в малых выборках смещение может быть суще-ственным.После того, как найдена стационарная линейная комбинация, можно оценить модель исправления ошибок, которая делает переменные коинтегри- рованными. В этой регрессии нужно использовать первые разности исходных переменных и остатки из коинтеграционной регрессии, которые будут представлять корректирующий член модели исправления ошибок.
Подчеркнем роль корректирующего члена. До появления метода Энгла- Грейнджера исследователи часто оценивали регрессии в первых разностях, что, хотя и приводило к стационарности переменных, но не учитывался стационарный корректирующий член, то есть регрессионная модель была неверно специфицирована (проблема пропущенной переменной).
Несмотря на то, что в модели исправления ошибок используется оценка коинтегрирующего вектора, оценки коэффициентов, полученные из такой модели будут иметь такие же асимптотические свойства, как если бы коин- тегрирующий вектор был точно известен. В частности, можно использовать t-статистики из этой регрессии, поскольку оценки стандартных ошибок яв-
ляются состоятельными. Это является следствием сверхсостоятельности оценок коинтегрирующего вектора.