Оценивание регрессии с автокорреляцией более высокого уровня

Предположим, что мы обнаружили автокорреляцию более высокого порядка. Как в этом случае оценить регрессию? Если у нас есть причины предполагать, что автокорреляция представляет собой авторегрессионный процесс типа (7.45), то можно использовать обобщенный вариант оценки по методу Кокрана—Оркатта.

yt = */ - рі*/-і ----- Рї*/-і ;

х, =х, - Р1ЛГ/-1 -...-р,х,_,;

(7.48)

(7.49)

а = а(1 - pi -...- рх),              (7.50)

то можно легко показать, что

*, = а + ріс, + є, (/ = s +1,...,/).              (7-51)

Таблица 7.8

Проверка на автокорреляцию Бройша—Годфри с множителем Лагранжа: функция спроса на продукты питания

Критическое значение

Порядок              Т              х              R2              —

5%              1%

Если бы мы знали величину р, то по данным наблюдений у и х можно было бы рассчитать * и Зс и оценить данное уравнение, устранив проблему автокорреляции. Вообще говоря, мы не знаем величины р, и ее приходится оценивать наряду сайр. Обобщенный вариант оценки по методу Кокрана—Оркатта следует той же схеме, что и первоначальный, в том смысле, что сначала оценивается уравнение регрессии с помощью обычного МНК, а затем оценивается регрессия (7.45) с заменой случайных членов на рассчитанные остатки. Далее вычисляются * и х и оценивается регрессия (7.51), дающая пересмотренные оценки аир. Получив новую совокупность остатков, вновь оцениваем уравнение (7.45) и т.

Здесь нужно сделать такое же предостережение, как и в случае авторегрессии первого порядка. Так как требуется оценить р, обобщенная оценка по методу Кокрана—Оркатта будет иметь требуемые свойства только на больших выборках. Имеется также проблема относительно применения поправки Прайса—Уинстена, которая становится все менее надежной по мере возрастания порядка авторегрессии. В принципе эта проблема преодолима [см. работу Э. Харви (Harvey, 1981, р. 206)], но требуемая корректировка нечасто встречается в компьютерных регрессионных пакетах.

Уравнение (7.52) представляет результаты оценивания регрессии по методу Кокрана—Оркатта четвертого порядка для функции спроса на продукты питания (без поправки Прайса—Уинстена):

log у, = 3,12 + 0,73 log х,-0,68 log р,\\              R2 = 0,991;              (7.52)

(с.о.) (0,63) (0,06)              (0,16)

й, = 0,б1и,_, - 0,03и,_2 - 0,28и,_3 + 0,23и,_4.              (7.53)

(0,26)              (0,29)              (0,30)              (0,27)

Уравнение (7.53) подтверждает, что если автокорреляция остатков является авторегрессионным процессом, то она должным образом аппроксимируется моделью первого порядка.

Упражнение

Выполните аналогичный тест с множителем Лагранжа для логарифмической регрессии функции спроса на выбранный вами товар1.

Приложение 7.3

Иллюстрация того, что d-статистика Дарбина—Уотсона приближается к (2- 2р)

X (с, - lt;?,-! )2 X (Є/2 - 2et-\\et + */-1) d = ^              =              ^              f

X*,2              X*,2

/=1              /=1

1 При выполнении теста ввм может потребоваться техническая помощь со стороны преподавателя. Если в евшем регрессионном пвкетв реализоввн метод Кокране—Оркатта более высокого порядка, то следует выполнить оцениввние урввнения с его использованием.

так как М— будут близкими к единице, если выборка достаточно

X*,2 И let

t=1              t=l

т

Iе,-\\Є,

большая. Поскольку

1=2

является оценкой р, то d является оценкой для

(=1

(2-2р).

Приложение 7.4