Автокорреляция, вызванная неправильной спецификацией переменных

Явная автокорреляция может быть вызвана пропуском важной объясняющей переменной, и положение можно исправить, если эта переменная будет определена и включена. (Пример дан в упражнении 10.4.) Другая ее причина может заключаться в том, что не принята во внимание структура модели, включающая запаздывание.

в случае парной регрессии путем преобразования модели к виду (7.27). Это можно переписать таким образом:

У, = lt;*(1 - Р) + РУ,-і + Рх, - Ррх,_, + є,.              (7.34)

Фактически мы оцениваем регрессионную зависимость у, от у,_,, х, и х,_,, налагая ограничение, заключающееся в требовании равенства коэффициента при х,_, произведению коэффициентов при других двух переменных в правой части уравнения. Так как уравнение является нелинейным по параметрам, мы не можем для его оценивания использовать МНК. Вместо этого мы применяем метод Кокрана—Оркагга или какой-либо другой подобный ему метод оценивания, в сущности, нелинейной регрессии.

В целом мы не имеем права заранее утверждать, что указанное ограничение обосновано. Кроме того, мы должны проверять все ограничения, где это возможно, и в данном случае сделать это несложно. Мы вводим другую, не включающую ограничения модель:

у, = К + V,-i + V/+ V/-i + Е,              (7-35)

и проверяем, равно ли А3 величине — А|А2. Если это ограничение не отклонено, мы принимаем предположение, что модело адекватно представлена выражениями (7.20) и (7.21), и продолжаем оценивать ее параметры, используя метод Кокрана—Оркагга или другой подобный ему метод. Если ограничение отклонено, то непосредственно оценивается регрессия (7.35) с использованием обычного МНК.

Следует отметить, что если лучшей спецификацией модели окажется (7.35), то из этого следует, что мы отказываемся от гипотезы, что случайный член формируется авторегрессионным процессом (7.21) и тест Дарбина—Уотсона перестает быть применимым при оценивании регрессии (7.20). Тем не менее он может быть полезен в диагностических целях, и часто первым указанием на наличие какой-либо проблемы в исходной регрессии служит d-статистика, недостаточно близкая к двум.

Теоретические положения, обосновывающие рассматриваемую процедуру проверки, здесь не представлены (они кратко излагаются в работе Д. Хендри и Г. Майзона [Hendry, Mizon, 1978]). Для данного случая подходит тестовая статистика

Tlog(RSSK/RSSa),              (7.36)

где RSSr и RSSu — необъясненные суммы квадратов отклонений соответственно в вариантах с ограничением и без ограничений; логарифмы вычисляются по основанию ей Т — количество наблюдений в выборке. В больших выборках статистика, лежащая в основе критерия, имеет распределение у} с числом степеней свободы, равным количеству налагаемых ограничений.

Может возникнуть вопрос о количестве налагаемых ограничений. До сих пор анализировалась исходная модель с одной объясняющей переменной. В этом случае ограничение было только одно: А,3 равно -А., А^. При наличии к объясняющих переменных количество ограничений также было бы равно к. Если исходная модель имеет вид:

у, = а + р,х„+... + рл, + и,,              (7.37)

где и, формируется на основе соотношения (7.20), то преобразованная модель будет представлена выражением:

*, = а (1 - р) + р+ Р, (х„ - рх„_,) + ... + Р* Схк1 - рх*,_,) + е„              (7.38)

и, таким образом, каждой объясняющей переменной соответствует ограничение, состоящее в том, что коэффициент при лаговом значении объясняющей переменной должен равняться произведению со знаком «минус» коэффициента при текущем значении этой переменной и коэффициента при

Пример

Преобразованная по методу Кокрана—Оркатга логарифмическая регрессия между расходами на жилье, располагаемым личным доходом и относительной ценой имеет следующий вид (в скобках приведены стандартные ошибки):

log *, = 4,47 + 0,40 log х, - 0,26 log/»,;              (7.39)

(1,05) (0,11)              (0,14)

ri = 0,9994; ?55=0,0014; p = 0,98;              (/=1,93.

Результаты оценивания регрессии (7.34) по МНК без учета ограничений могут быть представлены в виде:

log *, = 0,73 + 0,87 log + 0,22 log х, - (с.о.) (0,48) (0,06)              (0,09)

-0,11 logx,_, -0,19 log/»,+ 0,01 log/gt;,_,;              (7.40)

(0,11)              (0,14)              (0,17)

?2 = 0,9997; RSS = 0,0008;              (/=2,27;              h = -0,67.

Рассмотрим это уравнение, прежде чем применить тест на общий фактор. Мы получаем оценку р из коэффициента при log Верно ли, что коэффициент при log х,_, приблизительно равен умноженному на —0,87 коэффициенту при log х, и что коэффициент при log /»t_, приблизительно равен умноженному на -0,87 коэффициенту при log /»,? Очевидно, нет, по меньшей мере на первый взгляд. Статистика, лежащая в основе критерия, рассчитывается как 24 log(0,0014/0,0008), что равняется 13,4. Критическое значение у} с двумя степенями свободы при уровне значимости в 1% составляет 9,2 (см. табл. А.4). Следовательно, ограничение подлежит обоснованному отклонению (но при этом не нужно забывать, что данный тест следует использовать только для больших выборок). Еще одно свидетельство в пользу уравнения (7.40) обеспечивается тем, что A-тест показывает отсутствие статистически значимой автокорреляции.

Если мы выполним /-тест применительно к коэффициентам уравнения без ограничений, то увидим, что только одна лаговая переменная (log *,_,) имеет значимый коэффициент. Это означает, что мы можем опустить два других лаго- вых члена. Если мы сделаем это и повторно оценим регрессию (снова используя обычный МНК), то получим:

log у, = 0,49 + 0,85 logУ\'_{ + 0,15 log х, - 0,16 log р,;              (7.41)

(с.о.) (0,38) (0,04)              (0,05)              (0,07)

R2 = 0,9996; RSS= 0,0008; d= 1,94; h = 0,16.

Здесь нет статистически значимой автокорреляции. Вывод: Ярко выраженная автокорреляция в первоначальной регрессии между расходами на жилье, доходом и ценой фактически объясняется пропуском лаговой зависимой переменной.

Резюме

В связи с проведенным анализом следует отметить, что если при оценивании регрессии мы получаем //-статистику, которая явно указывает на автокорреляцию, то в первую очередь следует выполнить общий факторный тест, используя как преобразование по методу Кокрана—Оркагга, так и вариант без ограничений. Если ограничение не отклоняется, следует придерживаться результата, полученного по методу Кокрана—Оркагга. Если оно отклоняется, следует сосредоточиться на варианте без ограничений и попробовать внести новые усовершенствования. Например, не всегда необходимо сохранять все лаговые переменные.