4.4. Оценивание параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках

= а + b • х, +et. (4.7)

Примем некоторые допущения относительно этого уравнения:

пусть yt и xt не содержат тенденции, например, представляют собой отклонения выравненных по трендам значений от исходных уровней временных рядов;

пусть оценки а и b параметров уравнения регрессии найдены обычным МНК;

пусть критерий Дарбина - Уотсона показал наличие автокорреляции в остатках первого порядка.

Основной подход к оценке параметров модели регрессии в случае, когда имеет место автокорреляция остатков, заключается в следующем: исходная модель регрессии (6.1) с помощью замены переменных приводится к виду

yt = а\' + b • / + ut, (4.8)

где

yt yt r1 • yt-1:

ee

t t 1 t-1 (4.9)

ut =et - rf • є t-1; a\'= а(1 - rf).

Здесь r?1 - коэффициент автокорреляции первого порядка.

Поскольку ut, - случайная ошибка, то для оценки параметров преобразованного уравнения можно применять обычный МНК.

Итак, если остатки по исходному уравнению регрессии содержат автокорреляцию, то для оценки параметров уравнения используют обобщенный МНК.

Перейти от исходных переменных yt и xt к переменным у t и х t по формулам (4.9).

Применив обычный МНК к уравнению (4.8), определить оценки параметров а\' и b.

Рассчитать параметр а исходного уравнения из соотношения (4.9) как

а = a /(1 -rf). (4.10)

Выписать исходное уравнение (4.7).

Обобщенный метод наименьших квадратов аналогичен методу последовательных разностей. Однако мы вычитаем из yt (или xt) не все значение преды-

дущего уровня ун (или xt-i), а некоторую его долю /V ун (или /V xt-1). Если = 1, то данный метод есть просто метод первых разностей, так как

y = yt -Ум; xt = xt — xt-1.

Поэтому в случае, если значение критерия Дарбина - Уотсона близко к нулю, применение метода первых разностей вполне обоснованно.

Основная проблема, связанная с применением данного метода, заключается в том, как получить оценку /?1. Основными способами являются оценка этого коэффициента непосредственно по остаткам, полученным по исходному уравнению регрессии, и получение его приближенного значения из соотношения между коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка и критерием Дарбина-Уотсона r?1 = 1 - d/2.