2.3. Выбор формы уравнения регрессии

Ввиду четкой интерпретации параметров наиболее широко используются линейная и степенная функции.

В уравнении линейной множественной регрессии

fx = a + b1 • x1 + b2 • x2 + ...

параметры при х называются коэффициентами «чистой» регрессии. Они характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Предположим, например, что зависимость расходов на продукты питания по совокупности семей характеризуется следующим уравнением:

ух = 0,5 + 0,35 • x1 + 0,73 • x2,

где у - расходы семьи за месяц на продукты питания, тыс. руб.; х1 - месячный доход на одного члена семьи, тыс. руб.; х? - размер семьи, человек.

Анализ данного уравнения позволяет сделать выводы - с ростом дохода на одного члена семьи на 1 тыс. руб. расходы на питание возрастут в среднем на 350 руб. при том же среднем размере семьи. Иными словами, 35 % дополнительных семейных расходов тратится на питание. Увеличение размера семьи при тех же ее доходах предполагает дополнительный рост расходов на питание на 730 руб. Параметр а не подлежит экономической интерпретации.

В уравнении степенной функции

fx = a • xb • x2b2 •... • xpp (2.2)

коэффициенты bj являются коэффициентами эластичности. Они показывают, на сколько процентов изменяется в среднем результат с изменением соответствующего фактора на 1 % при неизменности действия других факторов. Этот вид уравнения регрессии получил наибольшее распространение в производственных функциях, в исследованиях спроса и потребления.

Предположим, что при исследовании спроса на мясо получено уравнение

x1,11

у = 0,82 • x-2,63 x!,n или у = 0,82 • ,

J x \' 1 2 J x \' 2,63 \'

x12,63

где у - количество спрашиваемого мяса; x1 - цена; x2 - доход.

Следовательно, рост цен на 1 % при том же доходе вызывает снижение спроса в среднем на 2,63 %.

В производственных функциях вида P = a • F*1 • Fb •... • Fbm e,

где Р - количество продукта, изготавливаемого с помощью m производст-венных факторов (F1, F2, ..., Fm), параметры b характеризуют эластичность количества продукции по отношению к количеству соответствующего производственного фактора.

Экономический смысл имеют не только коэффициенты bj каждого фактора, но и их сумма, т. е. сумма эластичностей: B = bi + b2 + ... + bm. Эта величина фиксирует обобщенную характеристику эластичности производства.

Для построения уравнения множественной регрессии чаще всего ис-пользуются следующие функции:

линейная - у = а + b1 • х1 + b2 • х2 + ... + bp • хр + e;

b b bP

степенная - у = а• х • х02 •... • хр e;

^ 12 р \'

* + Vх1 + b2 • х2 +.. + bp• хр +

экспонента - У = e ;

= 1

гипербола - y = т Т Т .

а + b1 • х1 + b2 • х2 +... + bp • хр + e

Если исследователя не устраивает предлагаемый набор функций регрессии, то можно использовать любые другие функции, приводимые путем соответствующих преобразований к линейному виду, например:

Л 1 1

ух = а + b • х1 + b2 + b3 • х32 + b4 • ln х4 .

х2

Обозначив

1

z^ — , z^ — , z3 — х~3 , z4 — ІП х4 , х2

получим линейное уравнение множественной регрессии y = а + b1 •z1+b2 z2+b3 •z3+b4 z4+e.

Однако чем сложнее функция, тем менее интерпретируемы ее параметры.

Если один и тот же фактор вводится в регрессию в разных степенях, то каждая степень рассматривается как самостоятельный фактор. Так, если модель имеет вид полинома второго порядка

y = а + by • х1 + b2 • х2 + • х2 + b22 • + by2 • х1 • х2 + e, то после замены переменных z1 = х1, z2 = х2, z3 = х22, z4 = z5 = х1 х2 получим линейное уравнение регрессии с пятью факторами:

у = а + b1 • z1 + b2 • z2 + b3 • z3 + b4 • z4 + b5 • z5 + e.

Поскольку, как отмечалось, должно выполняться соотношение между числом параметров и числом наблюдений, для полинома второй степени требуется не менее 30-35 наблюдений.