4.3. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона

k

yt = а + Z bj • xJt +?t, (4.3)

J

где k - число независимых переменных модели.

Для каждого момента (периода) времени t = 1,..., n значение компоненты е определяется из соотношения

et = Л - Л = Л - (а + Z bj • xjt). (4.4)

J

Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени.

Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу:

наличие ошибок измерения в значениях результативного признака;

модель может не включать фактор, окапывающий существенное воздействие на результат, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t. Кроме того, в качестве таких существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных, включенных в модель;

модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно ввиду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний;

неправильная спецификация функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму связи факторных и результативного признаков, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции остатков.

Существуют два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков.

Первый метод — это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции.

Второй метод - использование критерия Дарбина — Уотсона и расчет величины

n

z (et -et-і)2

2

t

d = . (4.5)

z е

i=1

Согласно (4.5) величина d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется как

n

I (e,-1

i=2

ЛІ (e

\\i=2

Є2)2

Є)2

n

ri

(4.6)

ei)(et-1 -Є2)

I (*,

i= 2

где

n

n

n -1

ei =

e2 =

i=2 n - 1

Let

i=2

Между критерием Дарбина-Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка имеет место следующее соотношение:

d » 2 • (1 - re).

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и Л = 1, то d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то Л = - 1 и, следовательно, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то re1 = 0 и d = 2. Следовательно, 0 < d < 4.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Н0 об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы Ні и Ні* состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам (см. приложение) определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона dL и du для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости а. По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью (1-a) рассматривается на рис. 4.1. \r\nЕсть Зона Нет Зона Есть\r\nположительная неопреде- оснований неопреде- отрицательная\r\nавтокорреляция ленности отклонять H0 ленности автокорреляция\r\nостатков. (автокорреля- остатков.\r\nH0 отклоняется. ция H0 отклоняется.\r\nС вероятностью остатков от- С вероятностью\r\nР = (1-a) сутствует) Р = (1-a)\r\nпринимается принимается\r\nH1. H1*\r\n0 4

dL

4-dL

d

4-dr

2

•U

Рис. 4.1. Механизм проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков

Если фактическое значение критерия Дарбина - Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу Ho.

Пример 4.1.

Исходные данные, значения et и результаты промежуточных расчетов представлены в табл. 4.1.

Таблица 4.1.\r\nt yt Xt yt et = yt - yt et - et-1 (et - et-i)2 et 2\r\n1 - - - - - - -\r\n2 1 2 1,54 -0,54 - - 0,2916\r\n3 0 2 1,54 -0,54 - - 0,2916\r\n4 2 1 1,11 0,89 1,14 1,2996 0,7921\r\n5 1 2 1,54 -0,54 -1,43 2,0449 0,2916\r\n6 1 1 1,11 -0,11 0,43 0,1849 0,0121\r\n7 2 2 1,54 0,46 0,57 0,3249 0,2116\r\n8 2 3 1,97 0,03 -0,43 0,1849 0,0009\r\nСумма 9 10 9,06 -0,06* 0,57 4,1233 1,6624\r\n*Сумма не равна нулю ввиду наличия ошибок округления.\r\nРасчет критерия Дарбина-Уотсона для модели зависимости потребления от дохода

Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона для этой модели составляет d = 4,1233/1,6624 = 2,48. Сформулируем гипотезы:

Н0 - в остатках нет автокорреляции;

Н1 - в остатках есть положительная автокорреляция;

Н1* - в остатках есть отрицательная автокорреляция.

Зададим уровень значимости a = 0,05. По таблицам значений критерия Дарбина-Уотсона определим для числа наблюдений n = 7 и числа независимых переменных модели k = 1 критические значения dL = 0,700 и du = 1,356. Получим следующие промежутки внутри интервала [0;4] (рис. 4.2):

I , 1 1 1 b

О dL = 0,700 dy-1,356 4-dy=2,644 4-dL = 3p300 4

Рис. 4.2. Промежутки внутри интервала [0; 4]

Фактическое значение d = 2,48 попадает в промежуток от du до 4 - du. Следовательно, нет оснований отклонять гипотезу H0 об отсутствии автокорреляции в остатках.

Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дар- бина-Уотсона.

Во-первых, он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, т. е. к моделям авторегрессии.

Во-вторых, методика расчета и использования критерия Дарбина - Уотсо- на направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка. При проверке остатков на автокорреляцию более высоких порядков следует применять другие методы, рассмотрение которых выходит за рамки данного учебника.

В-третьих, критерий Дарбина-Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок.