Автокорреляция с лаговой зависимой переменной

Предположим, что имеется модель, в которой зависимая переменная, взятая с лагом в один период, используется в качестве одной из объясняющих переменных (мы встретим такие примеры в главе 10).

Например, предположим, что модель имеет вид:

У, = а + Pi*, + PiKr-i + ип              (7-3°)

и допустим, что случайный член и, подвержен воздействию автокорреляции первого порядка:

и, = ри,_,+Ег              (7.21)

Тогда уравнение (7.30) может быть переписано как

^а + Рл + РЛ-і +ри,-і +Є,.              (7.31)

Вместе с тем у,_, зависит от и,_,, так как если соотношение (7.30) верно для /, то оно справедливо и для (/— 1):

у,_х = а + р,х,_, + р2у,_2 + и,_,.              (7.32)

Следовательно, имеется систематическая связь между одной из объясняющих переменных в уравнении (7.31) и первым компонентом случайного члена. Четвертое условие Гаусса—Маркова не удовлетворено, и оценки будут смещенными даже в больших выборках (см. разделы 3.3 и 3.4).

Обнаружение автокорреляции в модели с лаговой зависимой переменной

Как отметили в своей первоначальной статье Дж. Дарбин и Дж. Уотсон, //-статистика Дарбина—Уотсона неприменима в случае, когда уравнение регрессии включает лаговую зависимую переменную. В таком случае можно использовать A-статистику Дарбина (Durbin, 1970), которая также вычисляется на основе остатков. Она определяется как

h = nVar(A)’              lt;733)

где р — оценка р в автокорреляции первого порядка (7.21); Var (А) — оцененная дисперсия коэффициента при лаговой зависимой переменной; и — число наблюдений в выборке. Приблизительная оценка р получается из выражения (1 - 0,5//), где d — обычная статистика Дарбина—Уотсона и Var (А) — квадрат стандартной ошибки b.

В больших выборках А распределяется как N(0,1), т. е. как нормальная переменная со средним значением 0 и дисперсией, равной единице по нулевой гипотезе отсутствия автокорреляции. Следовательно, гипотеза отсутствия автокорреляции может быть отклонена при уровне значимости в 5%, если абсолютное значение А больше, чем 1,96, и при уровне в 1%, если оно больше, чем 2,58, при применении двустороннего критерия и большой выборке.

Основная проблема, связанная с использованием этого теста, заключается в невозможности вычисления А в том случае, если п Var (А) больше единицы. Альтернативная процедура, состоящая в применении теста с множителем Лагранжа, описана в приложении 7.2, где использование лаговой зависимой переменной в качестве объясняющей переменной не влияет на результат. Как и A-тест, эта процедура применима только для больших выборок.

Если в число объясняющих переменных включена лаговая зависимая переменная, то использование метода Кокрана—Оркатга может привести к локальному, а не к общему минимуму, что указали Р. Бетанкур и X. Келейан (Betancourt, Kelejian, 1981) и Л. Оксли и К. Робертс (Oxley, Roberts, 1982). По этой причине в данном случае при построении модели рекомендуется использовать решетчатый поиск Хилдрета—Лу или подобный ему метод.

Упражнения

10. В эксперименте по методу Монте-Карло модель

у, = а + Р*,_, + и,

оценивалась: 1) с использованием МНК; 2) с использованием метода Кокрана—Оркатга (СО); при этом истинные значения а и р равнялись соответственно 10 и 0,8. Случайный член и подвергался воздействию автокорреляции первого порядка:

и, = рк,_, + е„

где р было равно 0,7, а значения е, определялись умножением на число 5 независимых значений нормально распределенной случайной переменной с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

Этот эксперимент был проведен 10 раз с выборками из 30 наблюдений; результаты представлены в таблице.

1. Объясните, каким образом регрессии, построенные с помощью обычного МНК, указывают на наличие автокорреляции.
2. Объясните последствия автокорреляции для МНК-оценок в этой модели.
3. Объясните, подтверждают ли результаты оценивания регрессии по МНК ваш ответ на вопрос (2) или противоречат ему и дают ли какое-то улучшение оценки, полученные с помощью метода Кокрана— Оркатта.