Множественные модели с качественными зависимыми переменными
Упорядоченный логит имеет дело с альтернативами, которые можно расположить в определенном порядке. Например, это могут быть оценки, полу-ченные на экзамене, или качество товара, которое может характеризоваться
25
сортом от "высшего" до "третьего". Будем предполагать, что альтернативы пронумерованы от 0 до S. Переменная Y принимает значение s, если выбрана альтернатива s. Предполагается, что в основе выбора лежит ненаблюдаемая
величина Y= Хв + є. Y = 0 выбирается, если Y меньше нижнего (первого) порогового значения, Y = 1, если Y попадает в промежуток от первого до второго порогового значения и т. д.; Y = S выбирается, если Y превышает верхнее пороговое значение:
Y < Y11
Y, = J Y1 < Y > YS Если є имеет логистическое распределение, то логарифмическая функция распределения равна l = ? ln (Prob (Yi = 0)) + ? ln (Prob (Yi = 1)) + - + і є i0 і є IJ + ? ln (Prob (Yi = S)) = І Є IS = ? ln (TT^ГXiв) + ? ln (1 + eV y - TTTГXiв")+ - + ієі0 ієі1 + ? ІП + e1Ys - ХІв ). iЄІs Эту величину следует максимизировать по в и Y В результате получается оценка максимума правдоподобия. Если альтернативы не упорядочены, то предполагается, что выбор делается на основе функции полезности u (Y, Z). Обозначим us (Z) = u (s, Z). В ли-нейной модели us = Zs ps + є, где Zs - матрица регрессоров, - неизвестные параметры. Обычно делают одно из двух упрощающих допущений: либо что регрессоры для всех альтернатив одни и те же: us = Zps + є8 , либо что функция имеет один и тот же вид, а меняются только факторы, определяющие выбор, т.е. множественном логите принимается, что ошибки ss имеют распределение Вейбулла. Распределение Вейбулла в стандартной форме имеет функцию —X распределения F (X) = е —е (см. Рис. 3). Распределение Вейбулла обладает следующими важными для рассматриваемой модели свойствами: максимум нескольких величин, распределенных по Вейбуллу, также распределен по Вейбуллу, а разность двух величин, распределенных по Вейбуллу, имеет логистическое распределение. Используя эти свойства, можно вывести, что в многомерном логите eZ s Ps s Prob (Yi = s) = Pt = — . Y ez \' P\' t = 0 Вероятности не изменятся, если числитель и знаменатель нормировать, z в разделив на е 0 0 : е Z s PS - ZP Ps = Pi = S 1 + Y eZ\'в\'— Z 0 P0 t = 1 Если принимается, что Ps = в V s, то удобно обозначить Zs - Z0 = Xs (s = 1,..., S), а если Zs = X V s, то Ps - в0 можно заменить на Ps .