Взвешивание первого наблюдения при использовании метода Кокрана—Оркатта

Мы видели в разделе 7.7, что если *, связано с х, соотношением (7.20) и н, выражается через ut_x и є, в форме авторегрессионного процесса первого порядка (7.21), то можно устранить автокорреляцию путем оценивания регрессии */ от х,, где

Уі = У і

Уі=Уі~ РУї-і Я, = 1 Я, = 1 - Р Х,=Хі

х,=х,- рх,_,

для наблюдения /; для наблюдений 2, ..., Т; для наблюдения /; для наблюдений 2, Т; для наблюдения /; для наблюдений 2, ..., Т.

Тогда случайные члены в Т наблюдениях (н, в первом наблюдении и % ет

в остальных) будут распределены независимо. Остается одна проблема: теоретическая дисперсия и в первом наблюдении (ст2) отличается от теоретической дисперсии в остальных наблюдениях (а2). Таким образом, мы решили проблему автокорреляции за счет введения особого случая гетероскедастичности. Используя формулу (7.21), мы можем выразить а2 через а2:

а2 = pop. var (и,) = pop. var (ри,_, + е,) =

= р2рор. var («,_,) + pop. var (е,) + 2р pop. cov (и,_„ е,) = р2о2 + а2,              (7.55)

так как иы и є, независимы. (Мы предполагаем, что | р | lt; 1, и это неравенство, как можно показать, является условием, чтобы дисперсия и была независимой от /, что позволяет нам записать pop. var (и,) = pop. var (и,_і) = о2.) Таким обра-

Если р близко к единице, то а2 будет значительно больше, чем а2, и первое наблюдение станет оказывать, вообще говоря, непропорционально сильное воздействие на результаты оценивания регрессии. Вместе с тем использование соотношения (7.56) позволяет устранить гетероскедастичность. Если мы учтем первое наблюдение с «весом» д/і - р2, то случайный член в этом наблюдении примет вид д/l -р2м1. Дисперсия этой величины равна (1-р2)о2, что, конечно, равно дисперсии о2 случайного члена в остальных наблюдениях.

8