Коинтеграция в динамических системах: подход Йохансена
Если векторный процесс состоит более чем из двух процессов (S>2), то может существовать несколько коинтегрирующих векторов. Если существует ровно r линейно независимых коинтегрирующих векторов, то говорят, что ранг коинтеграции равен r.
Обозначим в матрицу, составленную из таких векторов. Набор коинтег- рирующих векторов не является однозначным, на самом деле речь должна идти о коинтеграционном пространстве. Нормировку следует выбирать исходя из экономической теории рассматриваемых процессов.
Метод Йохансена позволяет не только найти матрицу коинтеграционных векторов при данном ранге коинтеграции, но и проверять гипотезы о ранге коинтеграции (количестве коинтегрирующих векторов). Метод непосредственно работает с векторной моделью исправления ошибок. Пусть Yt = (Y1t,
..., Yn t) — векторный процесс (вектор-строка), каждая из компонент которого является 1(1) (или 1(0)). Порождающий данные процесс задается формулой AYt = ! + ! +Yt_n+ AYt-Г + ...+ AYt- L+1r -1
Предполагается, что ошибки, относящиеся к разным моментам времени, независимы, и St ~ N(0,Q). В модели оцениваются вектор-строка констант до и коэффициентов при трендах до, матрицы коэффициентов Г,..., Г-1 и П (nxn), а также ковариационная матрица Q.
Поскольку по предположению AYt~I(0), то должно быть выполнено Yt-1n~ I(0). Ограничения на ранг коин-теграции задаются как ограничения на матрицу П. При нулевой гипотезе, что ранг коинтеграции равен r, ее можно представить в виде
H(r): П= ва\\
где матрицы а и в имеют размерность (nxr); в— матрица коинтегрирующих векторов, а— матрица корректирующих коэффициентов. Если r=0, то П= 0 и не существует стационарных линейных комбинаций переменных Y1t, ..., Yn
В другом крайнем случае, когда n = r любая линейная комбинация этих переменных стационарна, то есть все они I(0).
Для оценивания модели используется метод максимального правдоподобия. При данной матрице в можно получить оценки максимального правдоподобия для остальных неизвестных параметров обычным методом наименьших квадратов. Йохансен показал также, что максимизация функции правдоподобия по в эквивалентна задаче отыскания собственных чисел для некоторой симметричной положительно определенной матрицы. При ранге коинтеграции r выбираются r минимальных собственных чисел. Если расположить собственные числа в порядке возрастания (Л1 < Л2 < ... < Лп), то следует выбрать Л1, Л2 , ..., Л r. (Йохансен записал ПДП в несколько ином виде, и поэтому у него собственные числа идут в порядке убывания и выбираются r максимальных собственных чисел.) Столбцами матрицы в (коинтегрирую- щими векторами) будут соответствующие собственные вектора. Конечно, в определяется только с точностью до некоторой нормировки. После того, как
найдена оценка максимального правдоподобия в, вычисляются оценки других параметров.
Для проверки гипотез об r используется статистика отношения правдоподобия. Статистика следа используется для проверки гипотезы (H0) о том, что ранг равен r, против гипотезы (HA) о том, что ранг равен и. Статистика имеет вид
n
LRtrace = - T X ln(1 - Л).
i=r+1
Тестирование проводится последовательно для r = и-1,...,0 и заканчивается, когда нулевая гипотеза не будет отвергнута в первый раз.
Можно проводить тестирование в обратном порядке r = 0,..., и-1. В этом случае тестирование заканчивается, когда нулевая гипотеза будет отвергнута в первый раз.Можно также использовать статистику максимального собственного числа, которая используется для проверки гипотезы (H0) о том, что ранг равен r, против гипотезы (HA) о том, что ранг равен r+1. Эта статистика равна
LRX-max = - ln(1 - Xr+i).
Обе статистики имеют нестандартные асимптотические распределения. К счастью, их распределения не зависят от мешающих параметров. Распределение этих статистик зависит только от n - r и от того, как входят в модель константа и тренд.
Можно выделить пять основных случаев, касающихся статуса векторов до и до в модели. В порядке перехода от частного к более общему:
Случай 0. до = 0, до = 0.
* T
Случай 1 . до = уъа , до = 0.
Случай 1. До) произвольный, до = 0.
*T
Случай 2 . до произвольный, до = у1а .
Случай 2. до произвольный, до произвольный.
Здесь Y и уІ — вектора-строки длины r. Случай 0 легко понять — константы и тренды в модели полностью отсутствуют. В Случае 1 константа входит в коинтеграционное пространство и, тем самым, в корректирующие механизмы, но не входит в сам процесс Yt в виде дрейфа. Это легко увидеть, если переписать модель следующим образом.
AYt = (y +Y-l 0)0? + AY-іГ + ...+ AFt_ 1+1Гь-і +St.
T *
В Случае 1 до можно записать как до = у0а + до , где у0 входит в коинте- грационное пространство, а до соответствует дрейфу в векторной модели исправления ошибок. Дрейф в модели исправления ошибок означает, что в Yt входит линейный тренд. (См. выше рассмотрение простого авторегрессионного процесса с дрейфом.)
Аналогичные рассуждения верны по отношению ко временному тренду в
**
Случаях 2 и 2. В Случае 2 тренд входит в коинтеграционное пространство, но не входит в Yt в виде квадратичного тренда. В Случае 2 тренд входит и в коинтеграционное пространство, и в Yt в виде квадратичного тренда.
trace X ^max
Методом Монте-Карло получены таблицы LR и LR " для всех пяти
случаев и нескольких значений n - r (на данный момент имеются таблицы для n - r = 1,...,12).
Как и в случае ADF очень важным вопросом является выбор длины лага L.
Способы по сути дела являются теми же самыми. Для проверки гипотез о длине лага можно использовать тест отношения правдоподобия, который в данном случае имеет обычное распределение х2. Если процесс состоит из и компонент, и проверяется гипотеза о том, что следует увеличить L на единицу то количество степеней свободы соответствующей статистики равно и. Важно также, чтобы отсутствовала автокорреляция остатков.Метод Йохансена можно использовать также для оценивания моделей с линейными ограничениями на матрицу коинтегрирующих векторов в и на матрицу корректирующих коэффициентов а. Для проверки таких ограничений предлагается использовать все тот же тест отношения правдоподобия, который здесь имеет обычное асимптотическое распределение х2.