6. Свойства ранговых систем стимулирования

Пусть множество A = [0; A+] с Ж1 разбито на n равных отрезков [Y,, Yi+1], i = 0, n -1, Yo = 0, Yn = A+, то есть Y, = i A+ /n, i е I. Тогда из выражения (15) пятого раздела получаем, что размеры вознаграждений должны удовлетворять следующему соотношению:

q1 = C1(A+/n), q, = qlA + [cj(i A+ /n) - c,((i - 1) A+ /n)], i = 2, n .

В частности, для линейных функций затрат ci(yi) = ki yi, i е I, получаем:

q1 = k1 A+/n, Sj = qг - qi-1 = kг A+ /n, i = 2, n .

Утверждение 6. Если используется равномерное разбиение множества A, то при линейных функциях затрат АЭ УНРСС является прогрессивной и вогнутой функцией.

Доказательство. Из предположения А.4 следует, что

c,(i A+ /n) > ci((i - 1) A+ /n), i = 2, n, что совместно с (1) обусловливает прогрессивность, а предположение об упорядочении затрат АЭ (см. А.4) совместно с (2) дает

S - дг-1 <0, i = 2, n, откуда и следует вогнутость. •

Возникает предположение - может быть всегда УНРСС являются монотонными и вогнутыми (или монотонными и вогнутыми).

монотонность УНРСС для любых функций затрат, удовлетворяющих А.2-А.4 (см. также теорему 1 в пятом разделе). Ответ на второй вопрос неоднозначен - в зависимости от функций затрат и соотношения типов АЭ УНРСС может быть вогнутой, линейной, выпуклой или ни вогнутой, ни выпуклой. Приведем иллюстративный пример.

Пример 3. Пусть АЭ имеют квадратичные функции затрат типа Кобба-Дугласа. Тогда из (1) следует, что

Si = (A+)2(2 i - 1) / 2 n2 r,, i e I.

Получаем, что «вторая производная» равна

S - S. = (All <2i\' _ \'>r_._(2i _ 3)r, i = .

2n ri_1ri

Учитывая, что в силу предположения А.4 ri > ri-1, i = 2, n,

2i _ 1

имеем, что при r^ < ri < ——3 ri-i, i = 2, n, УНРСС является

2i _ 1

прогрессивной и выпуклой, при ri > ——3 ri_1, i = 2, n - вогнутой,

2i _ 1 —

а при ri = n.i, i = 2, n - линейной.

2i _ 3

Следовательно, имея распределение АЭ по типам можно для каждого класса функций их затрат предсказывать какими свойствами должна обладать оптимальная УНРСС. Например, если последовательность типов АЭ с квадратичными функциями затрат типа Кобба-Дугласа является монотонно возрастающей и лежит в области I на рисунке 4, то соответствующая оптимальная УНРСС является выпуклой, если - в области II, то вогнутой, на границе этих областей - линейной, а если пересекает границу, то ни выпуклой, ни вогнутой. •

Рис. 4. Выпуклость, линейность и вогнутость оптимальных УНРСС

Перейдем к исследованию УНРСС, в которых равномерны вознаграждения, то есть qi = i q1, i e I. Из выражения (15) пятого раздела получаем, что

h = с-1 (qi), ?, = с-1 (qi + ciYui)), i = 2n, где с-1 () - функция, обратная к функции затрат.

i

Для линейных функций затрат АЭ имеем: Yi = q1 ? 1/ kj,

J=i

n

i e I. Из условия Yn = A+ окончательно получаем: q1 = A+/? 1/ kj ,

J=i

Yi = [A+ ? 1/kj ] /^1/kj , i e I.

J=1 j=1

Введем в рассмотрение показатель «равномерности» нормативов

n

Di = Yi - Yi-i = qi /ki = A+ / [kt ? 1/ k} ], i = 2, n .

j=1

Из выражения (5) следует справедливость следующего утверждения.

Утверждение 7.

Аналогично тому, как это делалось для УНРСС, исследуем типовые решения с равномерными нормативами и вознаграждениями для СРСС.

Пусть множество A = [0; A+] с Ж1 разбито на (n - 1) равный

отрезок [Yi, Yi+1], i = 1, n _ 1, Y1 = 0, Yn = A+, то есть Yi = (i - 1) A+ / (n - 1), i e I. Тогда из выражения (24) пятого раздела получаем, что размеры вознаграждений должны удовлетворять следующему соотношению:

ql = 0, qi = qu + [ci_1((i-1)A+/(n-1)) - c1_l((i-2)A+/(n-1))], i = 2~n .

В частности, для линейных функций затрат ci(yi) = ki yi, i e I, получаем:

q1 = 0, Si = qi - qi-1 = кц A+ / (n-1), i = 2, n .

По аналогии с доказательством утверждения 6, используя (7), можно доказать справедливость следующего утверждения.

Утверждение 8. Если используется равномерное разбиение множества A, то при линейных функциях затрат АЭ СРСС является прогрессивной и вогнутой функцией.

Пример 4. Пусть АЭ имеют квадратичные функции затрат типа Кобба-Дугласа. Тогда из (6) следует, что

Si = (A+)2(2 i - 3) /2 (n-1)2 ri-1, i = 2n. Получаем, что «вторая производная» равна

- = (2i _ -(* _ 3)1 , i = ^.

2(n _ 1)2

В рассматриваемом примере можно по аналогии с тем, как это делалось в примере 3, построить области возрастающих последовательностей типов АЭ, при которых УНРСС является выпуклой, вогнутой, линейной или ни выпуклой, ни вогнутой. •

Перейдем к исследованию СРСС, в которых равномерны вознаграждения, то есть qi = (i-1) q2, i = 2, n. Из выражения (24) пятого раздела получаем, что

Y1 = 0, Yi = c_| (q2 + cUY.d), i = 2n.

Для линейных функций затрат АЭ имеем: У, = q2 ?1/ k._1 ,

j=2

i = 2, n. Из условия Уп = A окончательно получаем:

п

q2 = A+/ ? 1/ k._1 (отметим, что в СРСС основные показатели не

j=2

зависят от эффективности деятельности победителя конкурса - АЭ, имеющего минимальные затраты),

У, = [A+ ? 1/k.

j=1 j=1

Введем в рассмотрение показатель «равномерности» нормативов

п

Д = У, - Уи1 = q2 /ki1 = A+ / [k,-! ? 1/ kj ], i = 2, n .

j=1

Из выражения (10) следует справедливость следующего ут-верждения.

Утверждение 9. В СРСС при линейных функциях затрат АЭ и равномерных вознаграждениях (прямо пропорциональных номеру норматива) оптимальные приросты нормативов увеличиваются с ростом эффективности деятельности АЭ.

Применение используемой в настоящем разделе техники анализа типовых решений дает возможность изучать свойства оптимальных УНРСС и СРСС для различных (конкретных) функций затрат и распределений типов АЭ. Кроме того, сравнивая выражения (1)-(5) с, соответственно, выражениями (6)-(10), можно в каждом конкретном случае исследовать сравнительные свойства типовых решений в УНРСС и СРСС.

Исследовав статические свойства ранговых систем стимулирования, вспомним, что проект является существенно динамическим объектом, поэтому исследуем временные характеристики таких типовых решений как различные шкалы оплаты труда (восьмой раздел) и мероприятия по сокращению продолжительности проекта (девятый раздел).