Унифицированные пропорциональные системы стимулирования.

С,(У„ Гi) = ri j (yi /Г,), i е I,

где j( ) - гладкая монотонно возрастающая выпуклая функция, j(0) = 0, (например, для функций типа Кобба-Дугласа jt) = ta / a, a > 1), ri > 0 - параметр эффективности агента.

Если центр использует пропорциональные (L-типа) индивидуальные системы стимулирования: о(у) = g Уь то целевая функция агента имеет вид: f(y \'i) = g yi - сг(уг).

у"* (gi) = Г, j \' -1(gi),

где j \' ( ) - функция, обратная производной функции j( ). Минимальные суммарные затраты центра на стимулирование равны:

n

Ш = ? giri j-\\7l),

i =1

где g = (gl; g2, ..., gn). Суммарные затраты агентов равны:

n

c(g) = ? r, j(j-\'ig,)).

i =1

В рамках приведенной выше общей формулировки модели пропорционального стимулирования возможны различные постановки частных задач. Рассмотрим некоторые из них, интерпретируя действия агентов как объемы выпускаемой ими продукции.

Задача 1. Пусть центр заинтересован в выполнении агентами плана R по суммарному выпуску с минимальными суммарными затратами агентов (еще раз подчеркнем необходимость различения суммарных затрат агентов и суммарных затрат центра на стимулирование). Тогда его цель заключается в выборе ставок оплаты {g}, еI в результате решения следующей задачи: c(g) ® min

(5)

g

? у: (у, ) = R ,

i =1

решение которой имеет вид:

(6) У* = j (R/W); y* = r, (R/W); i е I,

c* = W j (R / W); J = R j\'(R / W).

n

где W = ? ri . Так как оптимальные ставки оплаты одинаковы для

i=1

всех агентов, то оптимальна именно унифицированная (!) система стимулирования.

Задача 2. Содержательно двойственной к задаче 1 является задача максимизации суммарного выпуска при ограничении на суммарные затраты агентов:

Ё У,(7,) ® max

i=1 i i 7

с(7) < R

Решение задачи (7) имеет вид:

7* = j \'(j -1(R / W)); y* = r- j -1(R / W); i e I,

c* = R; JL = j- 1(R / W) W j\'(j -1(R / W)), то есть в двойственной задаче (естественно) оптимальным решением также является использование унифицированных пропорциональных систем стимулирования.

Замена в задачах 1 и 2 суммарных затрат агентов на суммарные затраты на стимулирование порождает еще одну пару содержательно двойственных задач.

Задача 3. Если центр заинтересован в выполнении агентами плана R по суммарному выпуску с минимальными суммарными затратами на стимулирование, то ставки оплаты определяются в результате решения следующей задачи:

7

N

JL (7) ® min

<

Ё y*(7i) = R\'

i =1

решение которой совпадает с (6), что представляется достаточно интересным фактом, так как суммарные затраты агентов отражают интересы управляемых субъектов, а суммарные затраты на стимулирование - интересы управляющего органа.

Задача 4 заключается в максимизации суммарного выпуска при ограничении на суммарные затраты на стимулирование:

\' N

(10)

Ё У*(7,) ® max 1=1 7 .

Jl (7) < R

Из метода множителей Лагранжа получаем условие оптимальности (Я - множитель Лагранжа): Я j\' _1(т0 j"(7d + 7 = 1, i e I, из которого следует, что все ставки оплаты должны быть одинаковы и удовлетворять уравнению 7 j\' ~1(y) = R / W.

Таким образом, мы доказали следующий результат: в организационных системах со слабо связанными агентами, функции затрат которых имеют вид (1), унифицированные системы стимулирования оптимальны на множестве пропорциональных систем стимулирования.

Отметим, что выше установлено, что унифицированные про-порциональные системы стимулирования оптимальны на множестве пропорциональных систем стимулирования в ОС со слабо связанными агентами, имеющими функции затрат вида (1). Поэтому исследуем их сравнительную эффективность на множестве всевозможных (не только пропорциональных) систем стимулирования. Как было показано выше (в разделах 2 и 7) для этого достаточно сравнить минимальные затраты на стимулирование, например, в задаче 2, с затратами на стимулирование в случае использования центром оптимальных квазикомпенсаторных систем стимулирова-

n

ния (которые равны JK(y*) = ? r j(y / rt)).

i=1

Решая задачу выбора вектора y е A\