Свойства ранговых систем стимулирования.

Пусть множество A = [0; A+] с Ж1 разбито на n равных отрезков [Y, Yi+1], i = 0, n _ 1, Y0 = 0, Yn = A+, то есть Y, = i A+ /n, i e I. Тогда из выражения (6) получаем, что размеры вознаграждений должны удовлетворять следующему соотношению [2]:

q1 = с1(А+/п), qi = qu + [c(i А+/п) - c((i - 1) А+/п)], i = 2, п.

В частности, для линейных функций затрат ci(yi) = ki yi, i e I, получаем:

q1 = k1 А+/п, d = qi - qi-1 = ki A+ / п, i = 2, п.

Таким образом, справедлив следующий вывод: если используется равномерное разбиение множества А, то при линейных функциях затрат агентов УНРСС является прогрессивной и вогнутой функцией (см. также свойства шкал оплаты труда в разделе 11).

Возникает предположение - может быть всегда УНРСС являются монотонными и вогнутыми (или монотонными и вогнутыми). На самом деле, оптимальные УНРСС всегда являются монотонными, однако никаких однозначных суждений относительно выпуклости/вогнутости сделать нельзя - в зависимости от функций затрат и соотношения типов агентов УНРСС может быть вогнутой, линейной, выпуклой или ни вогнутой, ни выпуклой. Приведем иллюстративный пример.

Пример 11. Пусть агенты имеют квадратичные функции затрат типа Кобба-Дугласа.

Получаем, что «вторая производная» равна

Ь - 8-1 = (А+)2 (2i - ^-1- (2i - 3>i, i = 2^.

2п ri-1ri

Учитывая, что ri > ri-1, i = 2, п, имеем, что при ri-

1 < ri < ——1 ri-1, i = 2, п, УНРСС является прогрессивной и вы- 2I - 3

„ . 2I -1 . „ 2I -1 пуклой, при ri > ri-1, i = 2, п - вогнутой, а при ri = ri-1,

2i - 3 2i - 3

i = 2, п - линейной.

Следовательно, имея распределение агентов по типам, можно для каждого класса функций их затрат предсказывать, какими свойствами должна обладать оптимальная УНРСС. Например, если последовательность типов агентов с квадратичными функциями затрат типа Кобба-Дугласа является монотонно возрастающей и лежит в области I на рисунке 54, то соответствующая опти-

мальная УНРСС является выпуклой, если - в области II, то вогнутой, на границе этих областей - линейной, а если пересекает границу, то ни выпуклой, ни вогнутой. •

Рис. 54. Выпуклость, линейность и вогнутость оптимальных УНРСС

Перейдем к исследованию УНРСС, в которых равномерны вознаграждения, то есть qi = i q1, i e I. Из выражения (6) получаем, что

Yi = о-1 (qi), Y, = 0_ (qi + оYi)), i = 2n, где o-i() - функция, обратная к функции затрат.

i

Для линейных функций затрат агентов имеем: Y, = qi ?1/ kj ,

j=1 n

i e I. Из условия Yn = A+ окончательно получаем: qi = A+/?1/ kj ,

j=1

Y, = [A+ ?1/kj ] /?1/kj , i e I.

j=1 j =1

Введем в рассмотрение показатель «равномерности» нормативов:

D, = Yi - Yi-i = qi / ki = A+ / [k ? 1/ kj ], i = 2n .

jeI

Можно показать [2], что в УНРСС при линейных функциях затрат агентов и равномерных вознаграждениях (прямо пропор- 136

циональных номеру норматива) оптимальные приросты нормативов увеличиваются с ростом эффективности деятельности агента.

Аналогично тому, как это делалось для УНРСС, исследуем СРСС с равномерными нормативами.

Пусть множество A = [0; A+] с Ж1 разбито на (n - 1) равный

отрезок [Y,, Yi+1], i = 1, n _ 1, Y1 = 0, Yn = A+, то есть Y, = (i - 1) A+ / (n - 1), i e I.

qi = 0, q= q,-i + ^((i - 1) A+/ (n - 1)) -

- 0,_i((i - 2) A+/ (n - 1))], i = 2, n . В частности, для линейных функций затрат о,(у,) = k, y, i e I, получаем:

qi = 0, d,¦ = q- q,-i = klA A+ / (n-1), i = 2, n.

Можно показать [2], что, если используется равномерное разбиение множества A, то при линейных функциях затрат агентов СРСС является прогрессивной и вогнутой функцией.

Пример 12. Пусть агенты имеют квадратичные функции затрат типа Кобба-Дугласа. Тогда из (17) следует, что

d = (A+)2(2 i - 3) / 2 (n-1)2 ri-1, i = 2n. Получаем, что «вторая производная» равна

4 + \\ 2

1, n _ 1.

(a+ )2 (2I _ 1)R_1 _ (2I _ 3)R ,

2(N _1) r,_1r, В рассматриваемом примере можно по аналогии с тем, как это делалось в примере 11, построить области возрастающих последовательностей типов агентов, при которых УНРСС является выпуклой, вогнутой, линейной или ни выпуклой, ни вогнутой. •

Перейдем к исследованию СРСС, в которых равномерны вознаграждения, то есть q, = (i - 1) q2, i = 2, n . Из выражения (11) получаем, что

(19) Yi = 0, Y, = о:! (q2 + 0i-i(Yi-i)), i = 2n.

Для линейных функций затрат агентов имеем:

i

Y, = q2 ?1/ kj, i = 2, n . Из условия Yn = A+ окончательно полу-

j=2 137

чаем: q2 = A+/ ?1/ кj _1 (отметим, что в СРСС основные показате-

j = 2

ли не зависят от эффективности деятельности победителя конкурса - агента, имеющего минимальные затраты),

Yi = [A+ ?1/к} ] /?1/к3 , i е I.

j=1 j=1

Введем в рассмотрение показатель «равномерности» нормативов

п

4 = Yi - YU1 = q2 /кц = A+ / [кu ?1/к} ], i = 2, п .

j=1

Из выражения (21) следует справедливость следующего утверждения: в СРСС при линейных функциях затрат агентов и равномерных вознаграждениях (прямо пропорциональных номеру норматива) оптимальные приросты нормативов увеличиваются с ростом эффективности деятельности агента.

Применение используемой в настоящем разделе техники анализа ранговых систем стимулирования дает возможность изучать свойства оптимальных УНРСС и СРСС для различных (конкретных) функций затрат и распределений типов агентов.