7. Шкалы оплаты труда

Предположим, что сумма договора, или стоимость работы или пакета работ согласована центром и АЭ и равна C. Шкалой оплаты труда называется кумулятивная зависимость размера вознаграждения (доли от стоимости договора), выплаченного центром АЭ, от процента завершения.

Обозначим через f процент завершения, через g - процент от суммы C, выплаченный АЭ. Тогда шкалой оплаты труда будет зависимость g(f). Эта зависимость обладает следующими свойствами (содержательные интерпретации которых очевидны):

функция g() - неубывающая и непрерывная справа;

М = 0;

\\/ f € [0;1] gff) € [0; 1]; - Х1) = 1.

Если ввести зависимость a(f) размера вознаграждения, получаемого АЭ (а не уже полученного за весь выполненный текущий объем работ) от процента завершения, то, очевидно, что этот размер вознаграждения с точностью до мультипликативной константы (стоимости договора) совпадает со скоростью изменения уже полученных АЭ сумм, то есть, если g() - кусочно- дифференцируемая функция, то

оф) = с , b e [0; 1].

dp

Верно и обратное соотношение: 1 Г

XP) = - J о(w)dw .

с0

Из выражений (1) и (2) следует, что на участках возрастания о(-) функция g(-) является «выпуклой», на участках убывания о(-) функция g(-) является «вогнутой», а в точке максимума о(-) функция g(-) имеет «перегиб». Кроме того, очевидно, выполняется «условие нормировки»:

1

J о(w)dw = С.

0

Перечислим некоторые типовые решения, то есть типовые шкалы оплаты труда.

Во-первых, это - равномерная оплата, при которой вознаграждение АЭ за каждую единицу процента завершения одинаково (см.

Во-вторых, это - аккордная оплата, при которой вся сумма договора с выплачивается только в момент полного завершения работ (см. рисунок 5 б).

В-третьих, это «-процентная предоплата (a e [0; 1]), при которой сумма а С выплачивается в момент начала работ, а сумма (1 - а) С - в момент полного завершения работ (см. рисунок 5в).

Возможны и другие варианты - любой определенной на отрезке [0; 1] измеримой функции соответствует некоторая шкала оплаты труда. Например, на рисунке 5г приведена так называемая квартильная оплата, при которой за четверть объема работ выплачивается четверть стоимости договора. На рисунках 5д-5ж приведены, соответственно, варианты выпуклых шкал, вогнутых шкал и шкал с перегибом.

1

0

p

1

0

Рис. 5а. Равномерная шкала

1

0

OP)

p

p

1

1 0 Рис. 5б. Аккордная оплата

p

1

0

o(P)

S(P)aС

8уР-1)(1-а)С

p

0

1

Of)

3/4 1/2 1/4

Рис.

5(f-i/4)C/4, i= 1,4

f

f

> к H It

0 1/4 1/2 3/4 1 0 1/4 1/2 3/4 1

Рис. 5г. Квартильная оплата

f

of

1

f

0

1

1 0

Рис. 5д. Выпуклая шкала

Рис. 5е. Вогнутая шкала

Рис. 5ж. Шкала с перегибом

Введем действие y(t) АЭ в момент времени t > 0, характеризующее объем работ выполняемый им в единицу времени в момент времени t > 0. Функцию y( ) назовем траекторией. Очевидно, что время T = T(y(-)) завершения работы можно определить как минимальное время, такое, что T (y (¦))

(4) j y(t )dt = 1.

о

При заданной траектории y() можно определить зависимость процента завершения от времени:

P(t, y()) = J y(t)dt.

0

Из (5) следует, что p(0) = 0, p(T(y()) = 1.

Имея шкалу g(p) и зная зависимость (5) процента завершения от времени, можно найти зависимость от траектории и времени величины процента завершения:

g(t, y( )) = l(P(t, y( )))

и зависимость от траектории и времени размера вознаграждения, получаемого АЭ:

„ft y( 0) = с .

dp

Введем функции дохода центра H(t, p) и затрат АЭ c(t, y), а также показатели дисконтирования Х0 и X, отражающие степень учета будущего, соответственно, центром и АЭ.

Теперь мы имеем все необходимое для того, чтобы сформулировать теоретико-игровую задачу управления.

Стратегией центра является выбор стоимости работ С > 0 и шкалы оплаты труда g(p) из множества функций, удовлетворяющих введенным выше требованиям. Он выбирает ее и сообщает АЭ, стратегией которого является выбор траектории y(), принадлежащей множеству положительнозначных кусочно-непрерывных функций.

J[H(t,P(t,y(0)) - o(t,y(0)] e^dt ® max,

при условии, что АЭ (при известных ему стоимости работ и шкале) выбирает траекторию, максимизирующую дисконтированную разность между вознаграждением, получаемым от центра, и своими затратами:

т (y (¦))

J [о (t, y( ¦ )) - c(t, y( ¦ ))] e-Xtdt ® max,

y ( )

Задачу (8)-(9) назовем задачей выбора шкалы оплаты труда. Получим решение этой задачи для различных частных случаев.

Начнем с простейшего случая, соответствующего, статической задаче стимулирования [38, 39], то есть будем считать, что объем работ y > 0, выполняемый АЭ в единицу времени, постоянен, функции дохода H(y) и затрат c(y) не зависят от времени, дисконтирование отсутствует. Соответствующую задачу назовем квазидинамической.

Если центр использует шкалу Xb), то из (1)-(7) следует, что:

T(y) = 1 / y, b(t, y) = y t, g(t, y) = g(y t), o(t, y) = C Y\'(y t). Следова

тельно, задача (8)-(9) выбора шкалы оплаты труда в рассматриваемом (квазидинамическом) случае примет вид:

при ограничениях участия, которое отражают выгодность взаимодействия центра и АЭ (не вступая во взаимодействие друг с другом, и центр, и АЭ могут получить нулевую полезность):

Обратим внимание на то, что выражения (10) и (11) не зависят от шкалы g(). Поэтому решение задачи (10)-(11) тривиально. Обозначим

(12) ymin = arg min c(y) /y.

y>0

Тогда, если (13) H(ymrn) > C(ymin),

тоё

(14) C c(ymin) /ymin

иначе центру и АЭ взаимодействовать невыгодно.

Утверждение 10.

Справедливость утверждения 10 следует из того, что действие, выбираемое АЭ исходя из второго условия в выражении (10), в квазистатической задаче не зависит от суммы договора и шкалы,

следовательно, если выполнено условие участия (12), то центру достаточно выбрать минимальную сумму договора, обеспечивающую АЭ нулевую полезность.

Содержательно утверждение 10 означает, что в квазидинамическом случае все шкалы оплаты труда эквивалентны, поэтому рассмотрим более общий случай.

Введем техническое предположение (которое имеет прозрачные содержательные интерпретации). А именно, предположим, что функция затрат непрерывна и lim c(x) / x =

Лемма 5. Если функции дохода и затрат не зависят от времени и дисконтирование отсутствует, то для любой траектории y( •) АЭ найдется постоянное его действие xy( ), обеспечивающее ему ту же полезность.

Доказательство. Целевая функция АЭ примет вид:

T (y( ¦)) t

J [СП.J y(t)dt) - c(y(t))]dt,

0 0

следовательно, в силу непрерывности функции затрат, найдется xy( •) > 0, такой что:

T (y(¦))

(15) c(xy( •)) / xy( •) = J c(y(t))dt.

0

Условие (15) позволяет вычислить постоянное действие АЭ xy( ), обеспечивающее ему (при произвольной шкале!) ту же полезность, что и траектория y( •). •

Рассматриваемый в лемме 5 случай отличается от квазидинамической задачи тем, что объем работ, выполняемый АЭ в единицу времени, может изменяться во времени.

Из леммы 5 следует, что при любой фиксированной сумме договора и выполнении условия участия (13) АЭ выберет действие (12). Значит, следствием является тот факт, что в рамках введенных предположений при решении задачи выбора шкалы оплаты труда можно ограничиться классом постоянных траекторий (то есть классом квазидинамических задач), что совместно с результатом утверждения 10 обосновывает справедливость следующего утверждения.

Утверждение 11. Если функции дохода и затрат не зависят от времени и дисконтирование отсутствует, то все шкалы оплаты труда эквивалентны.

Очевидно, различие эффективностей шкал проявится, если ввести дисконтирование и зависимость от времени доходов и затрат. Исследование подобных моделей (то есть общей постановки задачи (8)-(9)) представляется перспективным направлением дальнейших исследований.