8. Обучение менеджеров проектов

Основной результат анализа устойчивости и адекватности ре-шений задач управления заключается в том, что решение u (m ) е R0( m), оптимальное в модели m е M, может оказаться неэффективным в реальной ОС m е M, сколь угодно мало отличающейся от модели.

1 Настоящий раздел написан совместно с Е. О. Пужановой 60

K(u, m) K( fn )

K(Uei) = K( fn) - ?,

K(ue2) = K( m ) - ?2

.. K( m) - e(m, m)

m

! m

MeI( m)

Me2( m )

Рис. 6. Зависимость гарантированной эффективности управлений от ОС

Без ограничений общности (при отказе от вводимого предположения исследование проводится аналогично) будем считать, что область адекватности оптимального решения совпадает с самой моделью. Кроме того, предположим, что при использовании оптимального управления в ОС, отличающейся от модели, эффективность равна нулю (что может быть всегда достигнуто соответствующей нормировкой).

Величина e(m, m ) характеризует потери в эффективности (по сравнению с K( m )) при использовании одних и тех же управлений в модели m е Ми в реальной ОС M. В ряде случаев можно считать, что e(m, m ) = v(\\\\m - m\\\\), где || || - норма в пространстве М. Если v( ) - строго монотонная вогнутая функция, то e(m, m) - метрика в пространстве M.

Будем считать, что ОС (и/или ее модель) соответствует некоторой ситуации - проекту. Тогда обучение менеджера проекта (или, что с формальной точки зрения то же самое - формирование корпоративной базы знаний) может рассматриваться как овладение навыками использования тех или иных управленческих решений в различных ситуациях.

ситуациями и управленческими решениями. Это соответствие может моделироваться отображением k( •): M ® U и ставить в соответствие каждой ситуации m е M управление u = k(m) е U. Множество всевозможных отображений M ® U обозначим Y, то есть k( •) е Y.

Следовательно, в рамках рассматриваемой модели задача обучения заключается в выборе отображения k( •) е Y. Конкретизируем эту задачу, введя критерии эффективности и ограничения.

Простейшей задачей оптимального обучения является следующая: для заданного множества M ситуаций найти единственную (при этом k( •) является однозначным отображением) модель m *(M) е M, которую будем называть типовой ситуацией, обучение на которой (использование соответствующего е-оптимального решения) приведет к максимальной гарантированной эффективности управления:

m *(M) = arg max min {K(m ) - e(m, m )}.

meM meM

Если сначала произвести нормировку на K( m ) (то есть рассматривать ситуации, в которых эффективности соответствующих оптимальных управлений одинаковы), то получим:

m *(M) = arg rnin max e(m, m ).

meM meM

Тогда точка m (M) может рассматриваться как «центр» множества M по метрике е( •). Следовательно, справедливо следующее утверждение.

Утверждение 12. Если e(m, m) = v(\\\\m - m||), где v( •) - строго монотонная вогнутая функция, то решение задачи (2) имеет вид:

m *(M) = arg min max ||m - m ||.

meM meM

В соответствии с утверждением 12 в рамках введенных предположений типовой является ситуация, максимальное удаление от которой всех возможных ситуаций минимально, то есть точка m (M) может рассматриваться как «центр» множества M по естественной для этого множества метрике. На практике эта метрика может учитывать относительную сложность ситуаций, их распространенность и т.д.

Содержательно, задача (1) заключается в следующем. Требуется обучить менеджера принимать решения в такой ситуации, которая является «типичной» для множества возможных ситуаций M в смысле критерия минимальности потерь эффективности при использовании типового решения, которое обозначим и (M), в любой из ситуаций из множества M.

meM

есть меньше эффективности решения, оптимального в модели m (M). Следовательно, универсальность сформированного в результате обучения опыта менеджера заключается не в том, что он принимает в каждой конкретной ситуации наилучшее решение, а в том, что он обладает набором рецептов, которые позволяют принимать рациональные решения в разнообразных ситуациях.

Отметим, что и (M) е U является управлением, обладающим максимальной гарантированной эффективностью на множестве M, то есть справедливо следующее утверждение.

Утверждение 13. и*(MM) = arg max min K(U, m).

ueU meM

Рассматривая приведенное утверждение в отрыве от задачи обучения можно задаться вопросом - зачем было строить модель, когда решение задачи унифицированного управления известно? Все это правильно, и утверждение 13 дает решение задачи синтеза управления, обладающего максимальной гарантированной эффективностью в условиях неопределенности относительно возможных ситуаций m е M. Но это утверждение ничего не говорит о том «откуда берется» это управление, на какой модели следует обучать менеджера (что является типовой ситуацией) и т.д. Ответы на эти вопросы как раз и даются выражениями (1)-(3).

Выше мы рассмотрели задачу оптимального обучения для случая, когда обучение проводилось на единственной модели, что приводило к формированию следующего оптимального отображения к(-): M ® и (M). Конечно, лучше было бы обучать менеджеров на наборе моделей, охватывающем все возможные ситуации, то есть формировать отображение к() из M на все множество U.

Однако, существуют, как минимум, две весомые причины, демонстрирующие невозможность такого подхода. Во-первых, нельзя априори охватить все возможное многообразие ситуаций, с кото-

63

рым менеджеру придется столкнуться в своей практической деятельности. Во-вторых, время обучения ограничено, и за это ограниченное время можно охватить только конечное число ситуаций.

Поэтому рассмотрим следующую задачу оптимального обучения, в которой предполагается, что в процессе обучения рассматривается не одна, а несколько типовых ситуаций (эта же модель охватывает приобретение личного профессионального опыта менеджером проекта в процессе его практической деятельности, проблему оптимального формирования корпоративной базы знаний и многие другие).

Фиксируем множество M возможных ситуаций и число типовых ситуаций n, обозначив их mi, m2, ..., mn.

Тогда задача оптимального обучения примет вид: для заданного множества M ситуаций найти набор типовых ситуаций Mn, обучение на которых приведет к максимальной гарантированной эффективности управления:

M*(M) = arg max min max {K( m ) - e(m, m)}.

Mn сM meM meM n

Содержательные интерпретации компонент критерия эффективности (4) очевидны.

Если сначала произвести нормировку на K( m) (то есть рассматривать ситуации, в которых эффективности соответствующих оптимальных управлений одинаковы), то получим:

M*(M) = arg min max min e(m, mm).

Mn сM meM meM „

Следовательно, справедливо следующее утверждение.

Утверждение 14. Если e(m, m ) = v(Wm - m||), где v( ) - строго монотонная вогнутая функция, то решение задачи (5) имеет вид:

M*(M) = arg min max min ||m - m ||.

Mn сM meM meMn

В соответствии с утверждением 14 в рамках введенных предположений оптимален такой набор типовых ситуаций, что максимальное расстояние от любой возможной ситуации до ближайшей типовой ситуации минимально, то есть набор {m^ m2, ..., mn} типовых ситуаций должен «равномерно» покрывать множество воз-можных ситуаций M.

Сформулируем теперь задачу определения оптимального размера обучающей выборки (числа типовых решений). Из (6) следует, что эффективность обучающей выборки Mn может быть определена как

K(Mn) = max min max {K( m ) - e(m, m)}.

Mn сM meM meM „

Если учесть затраты на организацию обучения c(Mn): 2M ® Ж1, то получим, что эффективность Kc() с учетом затрат равна

Kc(Mn) = max min max {K( m ) - e(m, m) - c(Mn)}.

Mn сM meM meM „

Задача об оптимальном обучении в этом случае заключается в выборе

M*(M) = arg max KM).

Mn CM

Общих методов решения задачи (9) не известно, поэтому по-лучим ее решение для частного случая. А именно, предположим, что: Mс , то есть ситуация описывается точкой /-мерного пространства; произведена нормировка на K( m) (то есть для всех ситуаций эффективности соответствующих оптимальных управлений одинаковы); e(m, m) = v(\\\\m - m||), где v( ) - строго монотонная вогнутая функция; ||-|| - Евклидово расстояние; стоимость обучения является возрастающей вогнутой функцией числа типовых ситуаций: c(Mn) = c0 (1 - exp {- gn}), где g - скорость обучения, зависящая от применяемых методов обучения и индивидуальных характеристик обучаемых [34].

Вычислим d(M - диаметр множества M, где d(M = max max ||m1 - m2W.

m1eM m2 eM

Легко видеть, что в рамках введенных предположений эффективность обучения не зависит от конкретных типовых ситуаций, а определяется их числом n, причем в оптимальном решении типовые ситуации должны «равномерно заполнять» множество M.

n (M = arg min {v(d(M) / (n + 1)) + c0 (1 - exp (- gn))}.

n=1,2,...

Задача (10) является стандартной задачей оптимизации. Проиллюстрируем ее решение следующим примером.

Пример 5. Пусть v(t) = t, l = 1, d(M) = 1, g = 0,02, с0 = 1. Зависимость {v(d(M) / (n + 1)) + c0 (1 - exp (- gn))} эффективности от размера обучающей выборки приведена на рисунке 7.

Рис. 7. Зависимость эффективности от размера обучающей выборки

Видно, что оптимальным является использование 6-7 типовых решений (точное значение n = 6,5497).

Запишем в явном виде выражение для оптимального размера выборки. Внутреннее решение (если оно существует) должно удовлетворять следующему уравнению: (11) d / (n* + 1)2 = c0 e-gn.

Уравнение (11) дает возможность исследовать зависимость оптимального размера обучающей выборки от параметров модели.

На рисунке 8 приведена зависимость оптимального числа типовых решений от потенциальной «сложности» d(M) задач, которые придется решать менеджеру проекта. Жирная точка на рисунках 8-10 соответствует исходным данным.

7 I 6 в ш

1

Рис. 8. Зависимость оптимального числа типовых решений от d(M)

На рисунке 9 приведена зависимость оптимального числа типовых решений от «стоимости» c0 обучения.

Рис. 9. Зависимость оптимального числа типовых решений от c0

На рисунке 10 приведена зависимость оптимального числа типовых решений от «стоимости» c0 обучения.

О 02 Oflj OW CUB 0.1

J

Рис. 10. Зависимость оптимального числа типовых решений от g

Таким образом, проведенный анализ свидетельствует, что обобщенные решения задач управления организационными системами являются эффективным аппаратом моделирования обучения менеджеров проектов, решения задач определения оптимального числа и состава типовых решений.