РАЗДЕЛ 3.4. Задача определения оптимального количества сотрудников сервисного центра
Допустим, что входящий поток заявок на обслуживание удовлетворяет требованиям стационарности, независимости от предыстории процесса (отсутствие последействия) и ординарности потока (вероятность того, что в интервале времени dt поступит более одной заявки, есть величина бесконечно малая по сравнению с dt). Такой поток называется простейшим, а интервал времени между событиями - приходами последовательных заявок на обслуживание является случайной величиной, распределенной по показательному закону (см., например, [117, с. 266-269]) с плотностью распределения
p(t) = 1 e-1t, t > 0,
которое характеризует количество заявок на обслуживание, поступающих в сервисный центр в единицу времени.
Продолжим содержательное описание задачи. В сервисном центре работает некоторое количество специалистов, занимающихся обслуживанием оборудования. Работа каждого из этих сотрудников по обслуживанию разовых заявок может быть охарактеризована средним временем обслуживания 1/m При этом интенсивность обслуживания (среднее количество заявок, обслуживаемых в единицу времени)равна m
Будем исходить из того, что время обслуживания заявки специалистом также является случайной величиной и имеет показательное распределение с плотностью
p(t) = m e-mt, t > 0.
Предположим, что число работающих в сервисном центре специалистов равно n. Если в момент поступления заявки на обслуживание оборудования все специалисты уже заняты обслуживанием других, пришедших ранее заявок, то эта заявка ставится в очередь.
Длина очереди не ограничена.Такая система называется n-канальной системой массового об-служивания (СМО) с ожиданием (см., например, [73, с. 262-263]).
Для такой СМО известно [там же], что если выполняется соотношение
1 1
z = — < 1,
mn
то существует стационарный режим ее функционирования с конечной длиной очереди на обслуживание. Если имеет место х> 1, то очередь будет неограниченно возрастать ([73, с. 262-263]).
Таким образом, сразу можно утверждать, что число специалистов сервисного центра n должно быть больше чем 1/m.
Возвращаясь к содержательной постановке, следует отметить, что время реакции на заявку не должно превышать ^еакц, в противном случае фирма уплачивает заказчику штраф в размере 5 за каждую единицу времени, которая прошла после истечения ^еакц до времени начала обслуживания заявки специалистами сервисного центра.
Для такой СМО, для известных 1 и m и заданного n можно определить среднее время нахождения заявки в очереди ([73, с. 262263], [269, с. 444-445]):
П .
^ож
Р Р>
nmn
!(1 - Z)2\'
где р= 1/m Z = p/n,
Po =
„ „2 n и+1 Л
1 + Г + r_+ r ^
1! 2! n! n\\(n - r)y
Таким образом, в случае, если /ож > /реакц, за каждую единицу времени фирма в среднем уплачивает штраф в размере
^/ож - ^реакц^)1^
где, как уже отмечалось выше, l - среднее количество заявок на обслуживание, поступающих в единицу времени.
Средняя заработная плата каждого специалиста сервисного центра составляет z единиц в единицу времени. Поскольку число специалистов составляет n человек, то общая сумма зарплаты, выплачиваемой фирмой специалистам сервисного центра в единицу времени составляет nz.
Сформулируем задачу нахождения оптимального количества
*
специалистов сервисного центра n , которое минимизирует суммарные издержки фирмы в виде штрафов за опоздание с началом обслуживания заявок и заработной платы сотрудников сервисного центра:
n = arg min F(n), F(n) = l (toyK(n) - /реакц)^ + nz, где n e M с N, n1 < n < n2 и /реакц = const; n1 и n2 - соответственно нижняя и верхняя границы множества M:
l
n1: max n e N: % =— > 1,
mm
n2: min n e N: /ож(П) < /реа1Щ;
n1, n2 g M.
Содержательно: n1 - максимальное из всех n e N, при которых очередь на обслуживание неограниченно возрастает; n2 - минимальное из всех n e N, при которых время ожидания заявки меньше чем установленное время реакции.
Сформулированную задачу будем решать методом перебора по n e M при заданных значениях l, m, s и z. Значение n1 определим из неравенства, фигурирующего в (3.4.1).
Значение n2 определим путем последовательного увеличения n от n1+1 до того значения, прикотором впервые выполнится неравенство, фигурирующее в (3.4.2), это и будет n2.
Будем решать задачу для значений параметров 1 = 5, ju = 1, z = 1 и значений параметра s последовательно равных 4z, 1z, 0.25z. При этом р = 1j = 5, и на основании неравенства из (1) и условия n1 е N также имеет место n1 = 5, откуда следует n > 6. В качестве единицы измерения времени при расчете величины F(n) примем 1 месяц. Величина ^реакц = 4 (часам) » 0.0056 (месяца при 30 днях в месяце), что соответствует реальному времени реакции при обслуживании заявок на ремонт технологического оборудования.
Решение задачи приведено в таблицах 3.4.1 и 3.4.2.
Из таблицы 3.4.1 видно, что tax (n=11) = 1.8 ч. < ^реакц = 4 ч., откуда следует, что n2 = 11 и M = {6,7,8,9,10}.
Из таблицы 3.4.2 видно, что для приведенных значений 1, ju, z и, соответственно, значений s равных 4, 1, 0.25 получаем значения n соответственно равные 8, 7 и 6. Это и будут оптимальные значения количества специалистов при вышеприведенных значениях параметров.
Таблица 3.4.1\r\nn 6 7 8 9 10 11\r\nРо 0.0045 0.0060 0.0065 0.0066 0.0067 0.0067\r\n(ож (в месяцах) 0.5859 0.1628 0.0560 0.0200 0.0072 0.0025\r\n(ож (в
сутках) 17.577 4.884 1.68 0.6 0.216 0.075\r\n(ож (в часах) 421.84 8 117.21 6 40.32 14.4 5.184 1.8\r\nТаблица 3.4.2
\r\nn 6 7 8 9 10 \r\ns=4 F(n) 17.606 10.144 9.008 9.288 10.032 n=8\r\ns=1 F(n) 8.902 7.786 8.252 9.072 10.008 * ЩЩ
n =7\r\ns=0.25 F(n) 6.725 7.197 8.063 9.018 10.002 n=6\r\nРешение задачи может быть проиллюстрировано рисунком 3.4.1. По оси абсцисс отложена величина n, а по оси ординат, соответственно, ^ож(п), заданное в целях большей наглядности в днях,
величина суммарной месячной зарплаты nz и величина F(n), полученная при s = 4z = 4. Также в целях наглядности, хотя задача решалась только для целых n, соседние в смысле значений ординаты точки (например, tox(n) и ^ож(п+1)) соединены отрезками прямых.
На основе полученных результатов можно сделать следующий практический вывод.
В случае, если величина штрафа s за опоздание с началом обслуживания относительно мала по сравнению со средней зарплатой специалиста s (например, для нашей задачи случай s = 0.25) за тот же период времени, и известны средняя интен-сивность потока заявок (1) и средняя производительность трудаспециалиста по их обслуживанию (m), нет смысла проводить доста-
*
точно громоздкие расчеты по определению n , а в качестве оптимальной величины количества специалистов можно принять величину n1+1, т.е. в таком случае оптимальным будет минимальное количество специалистов, при котором уже обеспечивается ограниченность очереди на обслуживание.
Рис. 3.4.1
Для рассматриваемой задачи n(s = 0.25) = n1 + 1 = 6.
В заключение еще раз отметим, что в настоящем разделе сформулирована и исследована задача определения оптимального количества сотрудников сервисного центра в зависимости от интенсивности потока заявок на обслуживание, поступающих в сервисный центр в единицу времени, среднего времени обслуживания одной
заявки, средней заработной платы сотрудников центра и величины штрафа, уплачиваемого фирмой (хозяйствующим субъектом), за превышение декларируемого лимита времени от момента поступления заявки на обслуживание до начала ее выполнения.