4.4. Задача определения оптимального количества сотрудников сервисного центра

Допустим, что входящий поток заявок на обслуживание удовлетворяет требованиям стационарности, независимости от предыстории процесса (отсутствие последействия) и ординарности потока (вероятность того, что в интервале времени dt поступит более одной заявки, есть величина бесконечно малая по сравнению с di). Такой поток называется простей-

шим, а интервал времени между событиями - приходами последовательных заявок на обслуживание является случайной величиной, распределенной по показательному закону (см., например, [117, с. 266 - 269]) с плотностью распределения pit) = Я e/J, t> О, которое характеризует количество заявок на обслуживание, поступающих в сервисный центр в единицу времени.

Продолжим содержательное описание задачи. В сервисном центре работает некоторое количество специалистов, занимающихся обслуживанием оборудования. Работа каждого из этих сотрудников по обслуживанию разовых заявок может быть охарактеризована средним временем обслуживания 1 Ifi. При этом интенсивность обслуживания (среднее количество заявок, обслуживаемых в единицу времени) равна fl.

Будем исходить из того, что время обслуживания заявки специалистом также является случайной величиной и имеет показательное распределение с плотностьюp(t) = ji е-1", t>0.

Предположим, что число работающих в сервисном центре специалистов равно п. Если в момент поступления заявки на обслуживание оборудования все специалисты уже заняты обслуживанием других, пришедших ранее заявок, то эта заявка ставится в очередь.

Такая система называется //-канальной системой массового обслуживания (СМО) с ожиданием (см., например, [69, с. 262-263]).

Для такой СМО известно [69 с. 262 - 263], что, если выполняется соотношение

то существует стационарный режим ее функционирования с конечной длиной очереди на обслуживание. Если имеет место %>1, то очередь будет неограниченно возрастать ([69, с. 262-263]).

Таким образом, сразу можно утверждать, что число специалистов сервисного центра п должно быть больше чем Xlfl.

Возвращаясь к содержательной постановке, следует отметить, что время реакции на заявку не должно превышать ^реащ, в противном случае фирма уплачивает заказчику штраф в размере s за каждую единицу времени, которая прошла после истечения /рсак11 до времени начала обслуживания заявки специалистами сервисного центра.

Для такой СМО, для известных Я и /л и заданного п можно определить среднее время нахождения заявки в очереди ([69, с. 262 - 263], [287, с. 444 - 445]):

Р"Р о

to ж . . 2

п/м\\(\\-х)

где р = к!pL, % = р/п,

1

Ро / 2 пп пп+1 У

р р р р

— + — + ••• + — + у г

1! 2! п\\ п\\(п-р)у

Таким образом, в случае, если tQж > /pcaKlh за каждую единицу времени фирма в среднем уплачивает штраф в размере А(/ож - /pcai-u).v, где, как уже отмечалось выше, Я - среднее ко-личество заявок на обслуживание, поступающих в единицу времени.

Средняя заработная плата каждого специалиста сервисного центра составляет z единиц в единицу времени. Поскольку число специалистов составляет п человек, то общая сумма зарплаты, выплачиваемой фирмой специалистам сервисного центра в единицу времени составляет nz.

Сформулируем задачу нахождения оптимального коли-чества специалистов сервисного центра п , которое минимизирует суммарные издержки фирмы в виде штрафов за опоздание с началом обслуживания заявок и заработной платы сотрудников сервисного центра: п = arg min F(n), F(n) = = Я (l0 Jn) - tpeam) s + nz, где n Ш H\\ < n < n2 и tpeam = = const; щ и n2 - соответственно нижняя и верхняя границы множества М\\

Я

(4.4.1) щ\\ max п eV: %= — >1,

jin

1

(4.4.2) n2. min п eV: 1ож(п) < Греакц; пи п2 Ш.

Содержательно: щ - максимальное из всех п aV, при которых очередь на обслуживание неограниченно возрастает; п2 - минимальное из всех п aV, при которых время ожидания заявки меньше чем установленное время реакции.

Сформулированную задачу будем решать методом перебора по п еМ при заданных значениях Я, /i, s и z.

Будем решать задачу для значений параметров Я = 5, ц = 1, z= 1 и значений параметра s последовательно равных 4z, 1 z, 0.25z. При этом р = XljJL = 5, и на основании неравенст-ва из (1) и условия щ gN также имеет место щ = 5, откуда следует п > 6. В качестве единицы измерения времени при расчете величины F(n) примем 1 месяц. Величина /рса|-ц = 4 (часам) ~ 0.0056 (месяца при 30 днях в месяце), что соответствует реальному времени реакции при обслуживании заявок на ремонт технологического оборудования.

Решение задачи приведено в таблицах 4.4.1 и 4.4.2.

Из таблицы 4.4.1 видно, что toyK (п = 11)= 1.8 (часа) < < \'рсакц= 4(часа), откуда следует, что п2= 11 и М = = {6,7,8,9,10}.

Из таблицы 4.4.2 видно, что для приведенных значений Я, /i, z и, соответственно, значений s равных 4, 1, 0.25 получаем значения п соответственно равные 8, 7 и 6. Это и будут оптимальные значения количества специалистов при вышеприведенных значениях параметров.

Табл. 4.4.1. Расчет времени ожидания\r\nп 6 7 8 9 10 11\r\nРо 0.0045 0.0060 0.0065 0.0066 0.0067 0.0067\r\n^ож (в

меся-цах) 0.5859 0.1628 0.0560 0.0200 0.0072 0.0025\r\n^ОЖ (в

сутках) 17.577 4.884 1.68 0.6 0.216 0.075\r\n^ОЖ (в

часах) 421.848 117.216 40.32 14.4 5.184 1.8\r\nТабл. 4.4.2. Определение оптимального количества сотрудников

\r\nп 6 7 8 9 10 \r\ns=4 F(n) 17.606 10.144 9.008 9.288 10.032 n =8\r\ns= 1 F(n) 8.902 7.786 8.252 9.072 10.008 n =7\r\ns=0.25 Fin) 6.725 7.197 8.063 9.018 10.002 n =6\r\nРешение задачи может быть проиллюстрировано рисунком 4.4.1. По оси абсцисс отложена величина и, а по оси ординат, соответственно, tox(n\\ заданное в целях большей наглядности в днях, величина суммарной месячной зарплаты nz и величина /•(//), полученная при л = 4г = 4. Также в целях наглядности, хотя задача решалась только для целых п, соседние в смысле значений ординаты точки (например, taж{п) и 4ж(/г+1)) соединены отрезками прямых.

to>K

F(n)

6

7

8

9

10

15

n

10

5

0

Рис.

На основе полученных результатов можно сделать следующий практический вывод. В случае, если величина штрафа 5 за опоздание с началом обслуживания относительно мала по сравнению со средней зарплатой специалиста s (например, для нашей задачи случай s = 0.25) за тот же период времени, и известны средняя интенсивность потока заявок (Я) и средняя производительность труда специалиста по их обслуживанию (//), нет смысла проводить достаточно громоздкие расчеты по определению п , а в качестве оптимальной величины количества специалистов можно принять величину fii + 1, т.е. в таком случае оптимальным будет минимальное количество специалистов, при котором уже обеспечивается ограниченность очереди на обслуживание. Для рас-сматриваемой задачи п (s = 0.25) = щ + 1 = 6.

В заключение еще раз отметим, что в настоящем разделе сформулирована и исследована задача определения опти-мального количества сотрудников сервисного центра в зависимости от интенсивности потока заявок на обслуживание, поступающих в сервисный центр в единицу времени, среднего времени обслуживания одной заявки, средней заработной

платы сотрудников центра и величины штрафа, уплачиваемого фирмой (хозяйствующим субъектом), за превышение декларируемого лимита времени от момента поступления заявки на обслуживание до начала ее выполнения.