4.3. Задача определения структуры закупки при ограниченном финансовом ресурсе и различной рентабельности товаров
В силу ограниченности финансового ресурса не все виды товаров из набора товаров, реализуемых фирмой, и не все товары в нужном, с точки зрения возможности сбыта, объеме могут быть закуплены по мере возникновения необходимости пополнения запасов на складе фирмы. Очевидно также, что различные товары приносят фирме различную прибыль на единицу инвестированных в них финансовых ресурсов, т.е. товары обладают различной рентабельностью.
Принятию решений об объемах закупок товаров на склад в условиях ограниченности финансового ресурса и различной рентабельности товаров и посвящена модель, формулируемая и исследуемая в настоящем разделе.
Рассмотрим следующую исходную постановку.
Допустим, что рассматриваемая коммерческая фирма производит закупку и реализует товары единственного по-ставщика (производителя или торгового посредника).
В момент времени to производится заказ товаров на склад для периода [tb t2] так, чтобы за время т = ti- t0 они успели на него поступить. Предполагается, что в момент времени ti-8t, где 8t = 0(т), предшествующий поступлению заказываемой партии товара на склад, на нем будет иметься остаток товаров (всего номенклатура товаров содержит п позиций): „. Потребность в товарах (оценка), т.е. оценка количества товаров, которое можно продать в периоде [tb t2], составит, соответственно: sb s2, ... , sn.
Таким образом, дефицит товаров (недостаток товаров для покрытия спроса предстоящего периода)в момент ti—Ot составит: Asi = Si-m" , As2 = s2-m2° , ... ,Asn = sn-u°n.
Необходимо определить объем закупок (заказа) товаров в момент t0 для периода [tb t2]: Aub Au2, ... , Aun с тем, чтобы прибыль от закупки товаров была максимальной.
Финансовый ресурс на закупку товаров ограничен и составляет В единиц, т.е. это та сумма денежных средств, которая может быть инвестирована в товары в момент времени to.
Продажная цена товара i-ro вида составляет Р;, а прибыль на каждую единицу товара i-ro вида в абсолютном выражении - D;. Себестоимость товара составляет Р; - D; единиц. Обозначим через d; долю прибыли в отпускной цене товара i-ro вида:
di = Di / Р;, D; < Р;, 0 < di < 1.
Тогда доля себестоимости в продажной цене товара составит 1- d; = (Р; - Di)/P;. Необходимо определить оптимальный набор товаров (в количественном выражении по каждой позиции), который максимизирует прибыль фирмы в периоде [ti,t2].
На основании вышеизложенного может быть сформулирована следующая задача линейного программирования (ЗЛП):
п
(4.3.1) S d.P,Аистах при ограничениях
? (1-едДи^В,
i=l
Au; < Asb i = l,n ;
или, что то же самое,
P;Au; < P;AS;, i = 1,П . Очевидно, также имеет место условие, вытекающее из смысла задачи и не являющееся ограничением:
п
^(1 —(1;)Р;А s; > В.
1=1
В противном случае задача имеет очевидное решение:
Aui=Asb AU2=AS2, ... ,Aun=Asn. Для решения задачи введем обозначения:
Р;Аи; = u(i), PiAs; = s(i),
UT={u{ 1), u{2),...,u{n)), где UT - вектор-строка, соответствующий вектору-столбцу U.
С учетом обозначений (4.3.3) сформулируем ЗЛП (4.3.1) - (4.3.2) в векторно-матричной форме:
CTU^>шах
AU l-d(l) 1 - d(2) ... l-d(n) 1 0 ... 0 A = 0 0 ... 1 Al = B, s(l), s(2), ... ,s(n)), где ,s(/) = P,As„ Двойственная задача к данной ЗЛП имеет вид: АТХ^ mm ° х АТХ>С, гд еАг- транспонированная матрица^, а Х- вектор-столбец, соответствующий вектору-строке Хг = (х(1), х(2), ..., х(п+1)). Решение этих задач (прямой и двойственной) основывается на следующих двух теоремах [117, с. Теорема 4.3.1. Если целевая функция принимает максимальное значение в некоторой точке допустимого множества Ui, то она принимает это значение в крайней точке Ui. Теорема 4.3.2. Если U0 и Х0 - допустимые решения прямой и двойственной задачи, и если CTU0 = Х^А0, то U0 иХ0 - оптимальные решения этих задач. Крайними точками допустимого множества U\\ являются точки вида ШХ = (0, ... , u(i)=s(i), 0, ... ,0), а также их линейные комбинации вида fa(j)U(i) , где a(j ) = I, к < п, У=1 не нарушающие условие допустимости (4.3.5) множества Ui (если при к = п линейная комбинация является допустимой, то нет дефицита финансового ресурса В и, соответственно, нет задачи). Но в этом случае (oc( j ) = 1, к < п) условие допустимости (4.3.5) всегда выполняется как строгое неравенство (за исключением случаев, когда все u(i) = s(i) кратны В). Это означает, что практически всегда происходит недоиспользование финансового ресурса В. Для достижения полного использования финансового ресурса В можно применить следующее построение. Допустим, что в сумме (4.3.6) присутствует единственное слагаемое, для которого имеет место a(j) < 1, такое что если в этом слагаемом заменить a( j) < 1 на a( j) = 1, то на-рушится условие допустимости (4.3.5). Предположим, что j=k и покажем, что в качестве а (к) может быть выбрано B-Yl\\-d(,))s(>) а(к)= ^ . v \' (1 -d{k))s{k) Возможность выбора ос {к), удовлетворяющего условию (4.3.7) базируется на допущении, что любая цена Рь / = 1, и , входящая в выражение (4.3.3) для s(i), пренебрежимо мала по сравнению с В, т.е. />г = 0(В). С практической точки зрения это допущение может означать нежесткость финансового ограничения (4.3.5), т.е. всегда есть дополнительный финансовый ресурс, чтобы закупить 1 единицу товара по цене Рь какой бы эта цена не была. Покажем, что решением вышеприведенной ЗЛП является вектор U*: U*T = (и(1)*=s(1), u(2)*=s(2), ..., u(k)*=a(k)s(k), и(к+1)*=0, ..., u(n)*=0), где U*T - вектор-строка, соответствующий вектору-столбцу U*, a oik) задается соотношением (4.3.7). Х*т = (х(1)*=0, x(2)*=d(l), x(3)*=d(2), ..., x(k+\\)*=a(k)d(k\\ х(к+2)*=0, ..., х(и+1)*=0). Можно легко проверить, что для заданных векторов U* и X* выполняется соотношение сти* =х*%, откуда по теореме 4.3.2: U* и X* - оптимальные решения прямой и двойственной ЗЛП, соответственно. Поскольку коэффициент а (к) имеет специальный вид то, нетрудно видеть, что условие допустимости (4.3.5) выполняется как равенство в виде: -d(i))u(i)* = B i=l u(l)*=s(l) u(2)*=s(2) u(k)* = a(k)s(k) < s(k) u(k+l)* = 0 u(n)* = О, (В = B). Полученное нами решение представлено в параметрической форме, т.е. существует некоторое множество решений, соответствующее различным перестановкам элементов внутри вектора U*, сохраняющим справедливость условий (4.3.8) через выполнение соотношения (4.3.7) для, вообще говоря, различных к Также следует отметить, что вектор U* может содержать не только к первых, но, вообще говоря, к любых ненулевых элементов, удовлетворяющих условиям (4.3.7) и . Для того, чтобы получить решение задачи для конкретных значений u(i)*, u(j)*, т.е. определить: какие //(/)* #0, а какие u(j)* = 0, нам необходимо воспользоваться дополнительной информацией, содержащейся в ее условиях. Попытаемся использовать знание соотношений между коэффициентами d(i) для нахождения вектора U** из множества U всех допустимых векторов U*, который и будет решением задачи (4.3.4) при соблюдении условий (4.3.8) в виде: F(D,U*)= J й?(/>(/)* -> max Z = 1 при условиях ? (1 -d(i))u(i)\'= В, i=\\ w(l)* = 5(1) u(2)* = s(2) (4.3.11 )u(k)* = а (к) s(k) < s(k) u(k+1)* = 0 u(ri)* =0, где вектор U* может иметь не только к первых, но, вообще говоря, к любых ненулевых элементов, и удовлетворяет условиям (4.3.8). Вектор U** будем искать непосредственно в виде , т.е. в виде u(i)** #0, i = 1, к; u(j)** = 0, j = к+ \\,п. Решение. Упорядочим путем соответствующих перестановок множество D = (d(l), d(2), ... так, что ki i=l где u(i) - /-компонента вектора U*l, kl , который получается из вектора U* , теми же перестановками, что и множество D из множества D и содержит только kl первых его элементов. Т.е. если /-элемент множества D переходит в /-элемент подмножества DI, kl, то и /-компонента вектора U* переходит в /-компоненту вектора U*l, kl (при / < к\\). Кроме подмножества DI, kl и вектора U*l, kl без потери общности будем рассматривать только упорядоченные подмножества и вектора вида Dj, k(j,r) и U*j, k(j,r). Подмножество Dj, k(j,r) получается из множества D путем выборки из этого множества k(j,r) элементов, начиная с у\'-го элемента (при выборке допускаются пропуски), с выполнением условия аналогичного условию (4.3.12) в виде: k(j,r) ^2,(1—d(j))u(i) =Д г - номер выборки, где re {1, ...,R(j)}, a R(j) - общее количество выборок такого вида, начинающихся с у-го элемента множества D. Вектор U*j, k(j,r) получается аналогичным образом. Теорема 4.3.3. F(D1, kl; U*l,k) = maxF(Dj, k(j,r); U% Щг)), где re {!,...,R(j)i Для доказательства теоремы нам необходимо показать, что и ^d1(Dl,kl)u1(U*l,kl)> (4.3.14) i=1 > Y^dADjMjsMiU\'jMjs)) Vre{\\,...,R(j)}, где Рассмотрим два подмножества: PI, kl cD и любое под-множество вида l)j, к ( j,r) с. D. Допустим, что / элементов этих подмножеств совпадают (для полностью несовпадающих элементов доказательство является более простым). Произведем перестановку элементов подмножеств Dl,kl и Dj, к (j,r) следующим образом: В качестве первых I элементов каждого из подмножеств возьмем их совпадающие элементы, расположенные в порядке убывания. На оставшихся, соответственно kl-l для подмножества 1)1, kl и к {j,r)-l для подмножества Dj,k(j,r), позициях расположим оставшиеся (несовпадающие) элементы этих подмножеств, беря их также в порядке убывания. Вновь образованные подмножества будем обозначать DI, kl и DjL Мык Правило определения номера г задавать не будем. drJDl. kl) = dL(Ph k(l.r)). dL(Pl, kl) = dL(Pl, kfl.r)). ..., dt fDl. kl) = diJDl. k(l.r)). В качестве примера подмножеств PI, kl и Pj, k(j,r) рассмотрим следующие подмножества (совпадающие элементы подмножеств подчеркнуты): PI, kl (к1=15): 0.59 .58 .57.56.55 .54 .53 .52 .51.50.49 .48 .47.46.45, Dj, k(j,r) (j=5, k(5,r)=13): 0.55 .54 .53 .50 .49 .48 .33 .32 .31.30.29 .25 .21 Подмножества DI, kl и Dj, k( j,r) = D5, k(5,r) соответственно будут иметь вид: PL kl: 0.55 .54 .53 .50 .49 .48 .59 .58 .57 .56 .52 .51 .47 .46.45, Di, k(i,r): 0.55 .54 .53 .50 .49 . 48 .33 . 32 . 31 .30 .29 .25 .21. Согласно правилам (1) - (2) произведем также перестановку элементов векторов U*j, k(j,r) и U*l, kl, в результате получим вектора U*i, k(j,r) и U*l, kl , для первых I элементов которых будут иметь место соотношения: ulOJn, kl) = ul(U*i, k(i,r)). u2(V*l, kl) = = u20J*i. k(i.r)). ..uiaj4.kl)=uiaj*i.k(i.r)). Далее введем обозначение: / / (J)1>к1)щ i=l i=l Таким образом, для доказательства теоремы нам необходимо показать, что kl F1+ ]Г с1Д)1, kl) щ(1Т1, kl) > >=l+1 HI,г) F1+ ]Г 11(1)1, к(1,г)) и.(17* 1, к(1, г)) . i=i+i Или, что то же самое, kl ]Г dt (DI, kl) ut (U* 1, kl) > 1=1+1 f^ с/,(1)1, k(l,r)) ui(U* 1, k(l,r)) t i=l + l Введем обозначение: j2(l-di(Dl,kl))ui(ITl,kl) = i=l ?(1- с1,(Р1,к(1,г)))и,(1Т1,к(1,г)) =B1. i=l Тогда в силу (4.3.12) и (4.3.13): kl Y^(l-(l,(Dl,kl)) щ(1Т1,к!) = (4.3.17) i=l+1 Mir) Yjl-dmMl \'))) щ(1ТЩ1,г)) =B-B, i=l+l После вводных замечаний перейдем непосредственно к доказательству теоремы 4.3.3. Доказательство. Разделим левую и правую части неравенства (4.3.16) на , получим: kl Y^dJPl^ljuJUl^l) i=l+l > B-Bl Е di (DI, k(l, г)) щ (U\' 1, k(l, r)) i=l+l B-Bl Или, что то же самое, kl у^ dt (DI, kl) и. (U* 1, kl) \'=\'+J > kl YJ(l-dl(Dl,kl))ui(U\' l,kl) k(l,r) E di (D1> h(l, >¦)) щ (U" 1, k(l, r)) i= l+l k(l, r) * E 0 - \'1Д)1,к(1,г)))иДГ1,к(1,г)) i= l+l Обозначим (4.3 .19) ? = min{d (l+l), d (1+2),..., d (/<)} cr DI, kl; d= max{d(l+l), d(l+2),..., d(k(l,r))} cDl, k(l,r). Очевидно в силу упорядоченности DI, kl и DI, к (l,r): d_= d (k) cDl, kl, ad =d (l+l) cDl, к (l,r). Также очевидно, в силу того, что только / элементов D1, kl и D1, к (/,г)совпадают, имеет место d > d, и поскольку в силу условий задачи 0 < i> 1, и, очевидно, 1 d= тах{1 d (1+1), 1 d (1+2),..., I d (к)} = 1 d (к), {d (l+l), d(1+2),..., d (к)} cDl, kl, и 1 d= min{l d(l+l), 1 d (1+2),..., I d (k (l,r))}=l d (l+l), {d (l+l), d(1+2),..., d (k)} cDl, к (l,r), то и 1 d> 1 ~d . Из (4.3.19) и (4.3.22) следует и Y^d,(I)l,kl)u,(U 1,к1) i=?+l > J](l- d,(I)l,kl) )u,(U l,kl) i=?+l kl Z^-^7 1>kl) ^ i=i+i ki i YSl-d)4,(U4,kl) i=?+l а из (4.3.20) и (4.3.23)- k(l,r)_ Y,du,(Ul,k(l,r)) i=l+1 > k(l,r) %i(1\'d) и\'(иЧ>к(1>г» k(l,r) Y^d,(l)l,k(l,r)) u,(ini,k(l,r)) i=l+l . k(l,r) E (\' - d,(I)l,k(l,r)))u,(U\'l,k(l,r)) i=l+l Преобразуем правую часть неравенства (4.3.25): (4.3.27) w>»JEm =1+1 kl i=l+1 d (1-й)Ущ(ич,к1) i=l+l Преобразуем левую часть неравенства (4.3.26): k(l,r) _ Е dUjfU*l,k(l,r)) k(l,r) _ E (l-d)Ui(U*l,k(l,r)) (4.3.28) M+i _k(l,r) dyUi(U*l,k(l,r)) i=l+l . k(l,r) (1-с1)уи1(1Р1,к(1,г)) (n\'d) i=l+l Из (4.3.21) и очевидного ограничения 0 < d, d <1 следует (4.3.29) —=— > d (1-d) (1-d) Откуда с учетом (4.3.25) и (4.3.26): kl Е (1, (Dl, kl) щ (U* 1, kl) d i=i+i > > E (1 - dj (Dl, kl)) ut (U* 1, kl) (4.3.30) i=l+1 k(l,r) - E а>(Р1,к(1,г))щ(и*1,к(1,г)) (1-d) g (l-dJDlMhrmuJU\'lMhr)) i=l+l Откуда kl E d(Di,ki)4,gri,ki) i= l+l E (l-d(Dl,kl))ui(in,kl) (4.3.31) i-w НЫ Ус1,(1)1,к(1,г))и,(1Г1,к(1,г)) k(l,r) E (l-d(I)l,kQ,r))) uflTl,k(l,r)) i= l+l Но поскольку согласно (4.3.17): kl E (l-d(Dl, kl)) ufiT 1, kl) = i= l+l k i= l+l т.е. знаменатели обеих дробей, стоящих в левой и правой частях неравенства(4.3.31), совпадают, то имеет место (4.3.16): ы Е dJOUkOuJU\' l,kl) > i= l+l k(l,r) E d, (1)1, k(I, r)) u. (11* I, k(l, r)) i= l+l \' и справедливо соотношение (4.3.15). Далее с учетом инвариантности (4.3.14) по отношению к перестановкам (1) - (2), на основании которых из подмножеств Dl, kl и l)j, k(j,r) полу-чаются подмножества Dl, kl и Di, k(j,r), устанавливаем справедливость соотношения (4.3.14): ы (Dl, kl) и (LP 1, kl) > i=l Hi,г) Е4(DjMj,r))ut (ITj,k(j,r)) , i=l и, следовательно, теорема доказана. Мы доказали тот факт, что подмножество Dl, kl (zl) и соответствующий ему вектор U*l, kl е Uk\' elf обеспечивают максимум функции (4.3.9) при условиях (4.3.10) и (4.3.11), где if1 с U" и U" - соответственно ^/-мерное и //-мерное евк-лидовы пространства. При этом проекции вектора U*l, kl на остальные n-kl координатных осей U" равны нулю, т.е. имеет место: If* = U4, к. Проекции на оси 1,... kl-1 являются максимально допустимыми. Т.е. u(i)=s(i), i = l,kl — 1; а проекция на ось kl задается соотношением u(kl) = a(kl) s(k), где коэффициент a(kl) имеет вид (4.3.7) при k=kl, т.е. U*l, kl и будет являться решением задачи (4.3.4) при ограничениях (4.3.5): kl (4.3.32) J2di(D1>kl)ui(utl>kl) = max CTU , i=l AU Решение задачи (4.3.9) - (4.3.11) и доказательство теоремы 4.3.3 могут быть проиллюстрированы рисунками 4.3.1 и 4.3.2, которые для наглядности исполнены в различных масштабах. На этих рисунках в целях упрощения (не требуется перехода от Dj, k(j,r) к Dj, к (/» и от DI, kl к DI, kl) и красоты изображения в качестве подмножества Dj, k(j,r) представлено подмножество DI, k(l,r). На обоих рисунках по оси абсцисс (Н) представлены скалярные произведения (4.3.12) и (4.3.13) в виде последовательно отложенных на этой оси входящих в них слагаемых. А по оси ординат (G) таким же образом представлены скалярные произведения, стоящие, соответственно, в левой и правой части неравенства (4.3.14). Соответственно, Gi и G2, Hj и Н2 - текущие значения этих произведений. +diut Щ-1 +d2u2 d\\U\\ H\r\nkl =F(D1, kl;lf1, kl) ^ /=1 V V\r\n=F(pi,k(l,r);lfl,k(l,r)) ¦ "4. \' >4 \'v. 1\r\n+ ••• =F1 . 1 1 1\r\n/ / / / 1 1\r\n/ 1 1\r\n 1 1\r\n 1 1 1 1 1\r\n^ё;ф=1| j | B1 1\r\n H|=(/^l, k\\\\U 1, M): (14) и^Ц) и2.. .(1-4) иИ"КЦ) "r^i +0"ii) им+.. .+(1-4) ий=В Рис. 4.3.1. К доказательству теоремы 4.3.3 Рис. 4.3.2. К доказательству теоремы 4.3.3 Получим теперь решение рассматриваемой задачи в исходной постановке (4.3.1) - (4.3.2). В силу (4.3.3) имеем щ(11*1, kl) = u(i)** = Р;Ли;** ,i = i=\\a. Откуда Au;** = u(i)**/Pi, i=l7n. Найденные таким образом величины Au;** с учетом перестановок, указанных перед формулировкой теоремы 4.3.3, будут являться решением задачи (4.3.1) - (4.3.2). Отметим, что имеет место Auki** = a(kl)Askb где величина a(kl) задается соотношением (4.3.7), и Auj** = 0, j=kl+l, n а величины d, упорядочены перестановками (отсортированы) так, что имеет место di>d2> .. >dn. Как уже указывалось выше, решение задачи (4.3.1) - (4.3.2) для случая > является более громоздким по сравнению со случаем (4.3.36) и здесь не представлено. Содержательная интерпретация решения (4.3.33) - (4.3.36) состоит в том, что при ограниченном в момент t0 величиной В финансовом ресурсе следует осуществлять закупки Аи; для периода [tbt2], руководствуясь следующими правилами, с тем, чтобы прибыль от продажи закупленных товаров была максимальной: Необходимо упорядочить товары в соответствии с убыванием рентабельности d; так, что будет иметь место соотношение (4.3.36). Следует производить закупку (осуществлять формирование заказа) товаров в порядке убывания рентабельности в объемах Aui = Asi, где Asi - дефицит товара i-ro вида (недостаток товара i-ro вида для покрытия спроса предстоящего периода [tb t2]), до тех пор, пока для какого-то товара с номером kl (номер получен товаром при упорядочивании согласно п. 1 настоящих правил) не будет нарушено первое из условий, входящих в (4.3.2), т.е. финансового ресурса уже не будет хватать для закупки (включения в заказ) товара kl в полном объеме. Объем закупки товара с номером kl определяется со-отношением (4.3.34), т.е. товар kl закупается на все финансовые средства из В, которые остались после закупки товаров с номерами от 1 до kl - 1. Закупка товаров с номерами i = kl + 1,..., п не производится. Графическая интерпретация полученного результата может быть также сделана с помощью рисунков 4.3.1 и 4.3.2, если на оси абсцисс (Н) каждого из них нанести обозначение «Объем закупок» или «Использование финансового ресурса», или «Себестоимость», а на оси ординат (G) - «Прибыль». Сформулируем теперь полученный результат в виде краткого практического вывода. В условиях дефицита финансового ресурса необходимо производить закупку товаров различных видов в порядке убывания рентабельности этих товаров.