РАЗДЕЛ 3.3. Задача определения структуры закупки при ограниченном финансовом ресурсе и различной рентабельности товаров.

В процессе функционирования хозяйствующего субъекта - коммерческой фирмы, осуществляющей свою деятельность в сфере торговли некоторым набором продуктов, постоянно возникает проблема инвестирования ограниченного финансового ресурса в различные виды товарных активов, реализация которых является основным предметом деятельности фирмы.

Целью же осуществления торговых операций является получение коммерческой прибыли,

которая образуется как разность между закупочной, включающей издержки обращения, и продажной ценами.

В силу ограниченности финансового ресурса не все виды товаров из набора товаров, реализуемых фирмой, и не все товары в нужном, с точки зрения возможности сбыта, объеме могут быть закуплены по мере возникновения необходимости пополнения запасов на складе фирмы. Очевидно также, что различные товары приносят фирме различную прибыль на единицу инвестированных в них фи-нансовых ресурсов, т. е. товары обладают различной рентабельностью.

Принятию решений об объемах закупок товаров на склад в условиях ограниченности финансового ресурса и различной рентабельности товаров и посвящена модель, формулируемая и исследуемая в настоящем разделе.

Рассмотрим следующую исходную постановку.

Допустим, что рассматриваемая коммерческая фирма производит закупку и реализует товары единственного поставщика (производителя или торгового посредника).

В момент времени t0 производится заказ товаров на склад для периода [t\\, t2] так, чтобы за время t = t\\-t0 они успели на него поступить. Предполагается, что в момент времени t\\-5t, где 5t = 0(t), предшествующий поступлению заказываемой партии товара на склад, на нем будет иметься остаток товаров (всего номенклатура товаров содержит n позиций): u°, u°, ...., uJJ. Потребность в товарах (оценка), т.е. оценка количества товаров, которое можно продать в периоде [t\\, t2], составит, соответственно: s\\, s2, ...

, sn. Таким образом, дефицит товаров (недостаток товаров для покрытия спроса предстоящего периода) в момент t\\-5t составит: Ds\\ = S\\-u°, Ds2 = s2-

u2, . ,Asn = sn-un.

Необходимо определить объем закупок (заказа) товаров в момент t0 для периода [t\\, t2]: Aub Du2, ... , Dun с тем, чтобы прибыль от закупки товаров была максимальной.

Финансовый ресурс на закупку товаров ограничен и составляет B единиц, т.е. это та сумма денежных средств, которая может быть инвестирована в товары в момент времени t0.

Продажная цена товара 1-го вида составляет Рь а прибыль на каждую единицу товара 1-го вида в абсолютном выражении - D1. Себестоимость товара составляет P1-D1 единиц. Обозначим через d1 долю прибыли в отпускной цене товара 1-го вида:

d1 = D1/P1, D1 < Р1, 0 < d1 < 1.

Тогда доля себестоимости в продажной цене товара составит 1- d1 = (P1-D1)/P1. Необходимо определить оптимальный набор товаров (в количественном выражении по каждой позиции), который максимизирует прибыль фирмы в периоде [t1,t2].

На основании вышеизложенного может быть сформулирована следующая задача линейного программирования (ЗЛП):

jjd^ Du1 -Umax при ограничениях

j(1 -d1 )P1 Du1 < B

1=1

Au1 < Ds1, 1 = 1,n; или, что то же самое, P1Au1 < P1As1, 1 = 1,n .

Очевидно, также имеет место условие, вытекающее из смысла задачи и не являющееся ограничением:

j(1 - d1 )P1 As1 > B

1=1

В противном случае задача имеет очевидное решение: Au1=As1, Au2=As2, ... ,Aun=Asn. Для решения задачи введем обозначения:

P1Au1 = u(i), P1As1 = s(i),

UT=(u(1), u(2),...,u(n)), где UT - вектор-строка, соответствующий вектору-столбцу U.

С учетом обозначений (3.3.3) сформулируем ЗЛП (3.3.1)-(3.3.2) в векторно-матричной форме:

CTU—max

AU < Ao, где CT = (d(1),d(2),...d(n)), где d(i) = d1;

1 - d(1) 1 - d(2) ••• 1 - d(n) 1 0 ••• 0

A =

0 0 L 1

AT0 = (B, s(1), s(2), ... ,s(n)), где s(i) = P,As,. Двойственная задача к данной ЗЛП имеет вид:

ATX ® min

O X

ATX >C,

где AT - транспонированная матрица A, а X - вектор-столбец, соответствующий вектору-строке

XT = (x(1), x(2), ..., x(n+1)).

Решение этих задач (прямой и двойственной) основывается на следующих двух теоремах [117, с.

46 и 63], [166].

Теорема 3.3.1. Если целевая функция принимает максимальное значение в некоторой точке допустимого множества U1, то она при-нимает это значение в крайней точке U1.

Теорема 3.3.2. Если U0 и X0 - допустимые решения прямой и двойственной задачи, и если CTU0 = X^A0, то U0 и X0 - оптимальные решения этих задач.

Крайними точками допустимого множества U1 являются точки вида

U(i) = (0, ... , u(i) = s(i), 0, ... ,0), а также их линейные комбинации вида

(3.3.6) Ya(j)U(i) , где a(j) = 1, к < n, U(l) ?U(r),

j=1

не нарушающие условие допустимости (3.3.5) множества U1 (если при k=n линейная комбинация является допустимой, то нет дефицита финансового ресурса B и, соответственно, нет задачи). Но в этом случае (a(j)=1, к < n) условие допустимости (3.3.5) всегда выполняется как строгое неравенство (за исключением случаев, когда все u(i)=s(i) кратны В). Это означает, что практически всегда происходит недоиспользование финансового ресурса В.

Для достижения полного использования финансового ресурса В можно применить следующее построение.

Допустим, что в сумме (3.3.6) присутствует единственное слагаемое, для которого имеет место a(j) < 1, такое что если в этом слагаемом заменить a(j) < 1 на a(j) = 1, то нарушится условие допустимости (3.3.5).

Предположим, что j=k и покажем, что в качестве а(к) может быть выбрано

B - j(1 - d(i))s(i)

(3.3.7) а(к) = ^

(1 - d(k))s(k)

Возможность выбора а(к), удовлетворяющего условию (3.3.7) базируется на допущении, что любая цена P1, 1 =1,n, входящая в выражение (3.3.3) для s(i), пренебрежимо мала по сравнению с B, т.е. P1 = 0(B). С практической точки зрения это допущение может означать нежесткость финансового ограничения (3.3.5), т.е. всегда есть дополнительный финансовый ресурс, чтобы закупить 1 единицу товара по цене P1, какой бы эта цена не была.

Покажем, что решением вышеприведенной ЗЛП является вектор U*:

UT* = (u(1)*=s(1), u(2)*=s(2), ..., u(k)*=a(k)s(k), u(k+1)*=0, t ..., u(n)*=0),

где U * - вектор-строка, соответствующий вектору-столбцу U*, а a(k) задается соотношением (3.3.7).

Решением ДЗЛП является вектор X* размерности n+1:

XT* = (x(1)*=0, x(2)*=d(1), x(3)*=d(2), ..., x(k+1)*=a(k)d(k), x(k+2)*=0, ..., x(n+1)*=0).

Можно легко проверить, что для заданных векторов U* и X* выполняется соотношение

CTU* = XT*A0,

откуда по теореме 3.3.2: U* и X* - оптимальные решения прямой и двойственной ЗЛП, соответственно.

Поскольку коэффициент a(k) имеет специальный вид (3.3.7) то, нетрудно видеть, что условие допустимости (3.3.5) выполняется как равенство в виде:

Х(1 - d(i))u(i)* = B

i=1

u(1)* = s(1) u(2)* = s(2)

(3.3.8) u(k)* = a(k)s(k) < s(k)

u(k+1)* = 0

u(n)* = 0.

Полученное нами решение представлено в параметрической форме, т.е. существует некоторое множество решений, соответствующее различным перестановкам элементов внутри вектора U*, сохраняющим справедливость условий (3.3.8) через выполнение соотношения (3.3.7) для, вообще говоря, различных k. Также следу-ет отметить, что вектор U* может содержать не только k первых, но, вообще говоря, k любых ненулевых элементов, удовлетворяющих условиям (3.3.7) и (3.3.8).

Для того, чтобы получить решение задачи для конкретных значений u(i)*, u(j)*, т.е. определить: какие u(i)* #0, а какие u(j)* = 0, нам необходимо воспользоваться дополнительной информацией, содержащейся в ее условиях. Попытаемся использовать знание соотношений между коэффициентами d(i) для нахождения вектора U** из множества U всех допустимых векторов U*, который и будет решением задачи (3.3.4) при соблюдении условий (3.3.8) в виде:

(3.3.9)

при условиях

F(D,U*) = ^d(i)и(/\')* ® max

(3.3.10) ?(1 - d(i))u(i)* = B

i=1

u(1)* = s(1) u(2)* = s(2)

(3.3.11) u(k)* = a(k)s(k) < s(k)

u(k+1)* = 0 u(n)* =0.

где вектор U* может иметь не только к первых, но, вообще говоря, к любых ненулевых элементов, и удовлетворяет условиям (3.3.8).

Вектор U** будем искать непосредственно в виде (3.3.11), т.е. в виде u(i)** #0, i=1,k; u(j)** = 0, j= k+1,n.

Решение.

Упорядочим путем соответствующих перестановок множество D = {d(1), d(2), ... , d(n)} так, что d(1)> >d(2)>... >d(n) (случай > более сложный, и его мы рассматривать не будем). Полученное таким образом множество обозначим буквой D. Множество D является упорядоченным множеством. Для элементов D, очевидно, справедливо: 1-d(1)<1-d(2)<...<1-d(n). Выделим из D подмножество D1, к1, состоящее из первых k1 элементов этого множества:

D1,k1 = {d(1), d(2), ... , d(k1)} с D так, что kl

?(1 -d(i)) u(i) = B

i=1

где u(i) - i-компонента вектора U*1, kl , который получается из вектора U* , теми же перестановками, что и множество D из множества D и содержит только kl первых его элементов. Т.е. если i-элемент множества D переходит в /-элемент подмножества D1,k1, то и i- компонента вектора U* переходит в /-компоненту вектора U*l,kl (при / < kl).

Кроме подмножества D1,k1 и вектора U*1, kl без потери общности будем рассматривать только упорядоченные подмножества и вектора вида Dj,k(j,r) и U*j,k(j,r). Подмножество Dj,k(j,r) получается из множества D путем выборки из этого множества k(j,r) элементов, начиная с j-го элемента (при выборке допускаются пропуски), с выполнением условия аналогичного условию (3.3.12) в виде:

k( j,r)

?(1 - d(i)) u(i) = в

i=1

r - номер выборки, где re {1, ...,R(j)}, а R(j) - общее количество выборок такого вида, начинающихся с j-го элемента множества D. Вектор U*j,k(j,r) получается аналогичным образом. Теорема 3.3.3.

F(Dl,kl;U*l,k) = max F(Dj,k(j,r);U*j,k(j,r)), где re {1,...,R(j)}.

Для доказательства теоремы нам необходимо показать, что

?dt (D1,k1)ui (U* 1,k1) >

> ? di(Dj,k(j,r))Ui(U*j,k(j,r))

i=j

Vre(1,...,R(j)},

где di( •,•) = d(i, •, •), ui( •,•) = u(i, •, •), и либо j&1, либо k(j,r) #k1.

Рассмотрим два подмножества: D1,k1 с D и любое подмножество вида Dj,k(j,r) cD. Допустим, что l элементов этих подмножеств совпадают (для полностью несовпадающих элементов доказательство является более простым).

Произведем перестановку элементов подмножеств D1,k1 и Dj,k(j,r) следующим образом:

В качестве первых l элементов каждого из подмножеств возьмем их совпадающие элементы, расположенные в порядке убывания.

На оставшихся, соответственно k1-l для подмножества D1,k1 и k(j,r)-l для подмножества Dj,k(j,r), позициях расположим оставшиеся (несовпадающие) элементы этих подмножеств, беря их также в порядке убывания. Вновь образованные подмножества будем обозначать D1,k1 и Dj,k(j,r)

Правило определения номера r задавать не будем.

Для первых l элементов подмножеств Dj,k(j,r) и D1,k1 имеет место:

d1(D1,k1) = d1(D1,k(1,r)), d2(D1,k1) = d2(D1,k(1,r)), ..., dt(D1,k1) = dt(D1,k(1,r)).

В качестве примера подмножеств D1,k1 и Dj,k(j,r) рассмотрим следующие подмножества (совпадающие элементы подмножеств подчеркнуты):

D1,k1 (k1=15): 0.59 .58 .57 .56 .55 .54 .53 .52 .51 0.50 .49 .48 .47 .46 .45, Dj,k(j,r) (j=5, k(5,r)=13): 0.55 .54 .53 .50 .49 .48 .33 0 .32 .31 .30 .29 .25 .21

Множества D1,k1 и Dj,k(j,r) = D5,k(5,r) соответственно будут иметь вид:

D1,k1: 0.55 .54 .53 .50 .49 .48 .59 .58 .57.56.52 .51 0 .47.46.45 .

Dj,k(j,r): 0.55.54.53.50.49.48.33.32.31.30.29.25.21 .

Согласно правилам (1)-(2) произведем также перестановку элементов векторов U*j,k(j,r) и U*1,k1, в результате получим вектора

U*j,k(j,r) и U*l,kl , для первых l элементов которых будут иметь место соотношения:

ul(U*l,kl) = ul(U*j,k(i,r)). u2(U*l,kl) = = u2(U*j,k(j,r)), ..., ul(U*l,kl) = ul(U*i,k(i,r)).

Далее введем обозначение:

l l

?dt (D1, k1)ui (U* 1,k1) = ?dt (D1, k(1, r))ui (U* 1, k(1, r)) = F1 i=1 i=1

Таким образом, для доказательства теоремы нам необходимо показать, что

Fl + ?di(Dl,kl)ui(U*l,kl) > (3.3.15) \'=l+1

V \' k(l,r)

Fl + ? di(Dl,k(l,r))ui(U*l,k(l,r))

i=l+1

или, что то же самое, kl

i=l+1

е, kl

?di(Dl,kl)ui(U*l,kl) >

(3.3.16)

v 7 klr)

r))ui(Ul,k(l,r))

i=l+1

? di (Dl, k(l,

Введем обозначение:

?( 1 - di(Dl,kl))ui(U* l,kl) =

i =1

?( 1 - di(Dl,k(l,r)))ui(U\' l,k(l,r)) = Bl

i =1

Тогда в силу (3.3.12) и (3.3.13):

?( 1 - d (Dl, kl))u(U*l, kl) =

(3.3.17) i=\'+1

k(l,r)

?( 1 - dl (Dl, k(l, r)))u(U* l, k(l, r)) = B - Bl

i=l+1

После вводных замечаний перейдем непосредственно к доказательству теоремы 3.3.3. Доказательство.

Разделим левую и правую части неравенства (3.3.16) на (3.3.17), получим:

? di(D1,k1)ui(U * 1,k1)

i=l+1 > B - B1

k(hr )

? di(D1,k(1,r))ui(U* 1,k(1,r))

i=l+1

B - B1

Или, что то же самое,

?di(D1,k1)ui(U * 1,k1)

i=l+1 >

к1

i=l+1 kl

?( 1 - di(D1,k1))ui(U * 1,k1)

(3.3.18)

? di(D1,k(1,r))ui(U\'1,k(1,r))

k(1,r)

?( 1 - di(D1,k(1,r)))ui(U* 1,k(1,r))

i=l+1

Обозначим

d = min{d(l+1), d(l+2),...,d(k)} с D1,k1;

d =max{d(l+1),d(l+2),...,d(k(1,r))} cD1,k(1,r). Очевидно в силу упорядоченности D1,k1 и D1,k(1,r):

d= d(k) cD1,k1, а d = d(l+1) cD1,k(1,r).

Также очевидно, в силу того, что только l элементов D1,k1 и D1,k(1,r) совпадают, имеет место

d > d,

и поскольку в силу условий задачи

0 < d(•) < 1, "i: n > i > 1,

и, очевидно,

1- d = max{1- d(l+1),1- d(l+2), ...,1-d(k)} = 1- d(k), {d(l+1), d(l+2),...,d(k)} cD1,k1, и

1-d =min{1-d(l+1),1-d(l+2),..,1-d(k(1,r))}=1-d(l+1), {d(l+1),d(l+2),..,d(k)} cD1,k(1,r),

то и

1-d > 1-d. Из (3.3.19) и (3.3.22) следует

? di(D1,k1)ui(U * 1,k1)

i=l+1 >

?(1 - di(D1,k1))ui(U * 1,k1)

i=l+1

(3.3.25)

? duUW)

i=l+1

?(1 - d )u,(U * 1,k1)

i=l+1

а из (3.3.20) и (3.3.23) -

? dut(U* 1,k(1,r))

=1+1

P = *

? (1 - d)u (U* 1,k(1,r))

k _

i=l+1

(3.3.26) )

r))ut(U * 1,k(1,r))

_i=l+1

k(-

? di(D1,k(1,

Щ?)

? (1 - di(D1,k(1,r)))ui(U* 1,k(1,r))

i=l+1

Преобразуем правую часть неравенства (3.3.25):

? dui(U * 1,k1)

?(1 - d)ui(U* 1,k1)

i=l+1

(3.3.27)

d ? ui(U * 1,k1)

(1 - d)

(1 - d) ?u,(U\' 1,k1)

i=l+1

Побразуем левую часть неравенства (3.3.26):

k(l,r)_

? du(U\'l,k(l,r))

i=l+1

k(l,r) _

? (1 - d)u,(U\'l,k(l,r))

(3.3.28) \'=l+1

V 7 _k(l,r)

d ?ui(U* l,k(l,r))

i=l+1

— k(l,r) (1 - d) (1 - d) ?ui(U" l,k(l,r)) (1 d)

Из (3.3.21) и очевидного ограничения 0 < d, d < 1 следует (3.3.29) > d

(1 - d) (1 - d)

Откуда с учетом (3.3.25) и (3.3.26):

? dt(Dl,kl)ut(U\'l,kl)

k >—=—>

kl (1 - d) (3.3.30) ?(1 - dt(Dl,kl))ut(U\'l,kl) \'

k(l,r)

- ? dl(Dl,k(l,r))ul(U\'l,k(l,r))

> d _ > i=l+1

(1 - d) k(\'\'r)

? (1 - dl(Dl,k(l,r)))ul(U\'l,k(l,r))

Откуда

i=l+1

? di(Dl,kl)ui(U *l, kl)

?( 1 - di ( Dl, kl ))ui( U * l, kl)

(3.3.31)

i=l+1

k(l,r)

? di(Dl,k(l,r))ui(U\'l,k(l,r))

i=l+1

k(l,r)

? (1 - di(Dl,k(l,r)))ui(U\'l,k(l,r))

i=l+1

Но поскольку согласно (3.3.17):

? (1 - d; (Dl, kl))U; (U*1,k1) =

i=l+1 k(1,r)

?(1 - di(D1,k(1,r)))ui(U* 1,k(1,r)) = B- Bi

i=l +1

т.е. знаменатели обеих дробей, стоящих в левой и правой частях неравенства (3.3.31), совпадают, то имеет место (3.3.16):

?di(D1,k1)ui(U* 1,k1) >

i=l+1 k1:)

? di(D1,k(1,r))Ui(U* 1,k(1,r))

i=l+1

и справедливо соотношение (3.3.15). Далее с учетом инвариантности (3.3.14) по отношению к перестановкам (1)-(2), на основании которых из подмножеств D1,k1 и Dj,k(j,r) получаются подмножества D1,k1 и Dj,k(j,r), устанавливаем справедливость соотношения (3.3.14):

?d,. (D1, k1 )u (U* 1, k1) >

i=1 kUs )

? dt (Dj, k(j, r))Ui (U *j, k(j,r))

i=J

и, следовательно, теорема доказана.

Мы доказали тот факт, что подмножество D1,k1 cD и соответствующий ему вектор U*1,k1 е Uk1 c U обеспечивают максимум функции (3.3.9) при условиях (3.3.10) и (3.3.11), где if1 cU и V - соответственно к1-мерное и «-мерное евклидовы пространства. При этом проекции вектора U*1,k1 на остальные п-к1 координатных осей U" равны нулю, т.е. имеет место:

U** = U*1,k1.

Проекции на оси 1,...к1-1 являются максимально допустимыми. Т.е. u(i)=s(i), i = 1,к1 — 1; а проекция на ось к1 задается соотношением

u(k1)=a(k1)s(k), где коэффициент а(к1) имеет вид (3.3.7) при к=к1, т.е. U*1,k1 и будет являться решением задачи (3.3.4) при ограничениях (3.3.5):

(3.3.32)

? D (DI, kl)ui (ui*, kl) = maxCTU ,

i=i

AU Вообще говоря, можно рассматривать множество D, подмножества D1,ki и Dj,k(j,r) как вектора в соответствующих евклидовых пространствах размерности n, kl, k(j,r), соответственно, а выражение, стоящее в правой части равенства (3.3.32), - как скалярное произведения в пространстве размерности n, а в левой части этого равенства - как скалярное произведение в пространстве размерности kl.

Рис. 3.3.1.

Hf(D1,k1;U*1,k1): (1-d1)u1+(1-d2)u2^(1-d,4)u,-1+(1-d,)u,=B1 +(141)u+1+.414)ukfB ВДШ^Ш (1-d1)u1+(1-d2)u2^(1-df1)uf1+(1-d/)u/=B1 +(1-dM)uM+...+(1-dMAflx)=B

На этих рисунках в целях упрощения (не требуется перехода от Dj,k(j,r) к Dj,k(j,r) и от D1,ki к D1,ki) и красоты изображения в ка-

Решение задачи (3.3.9)-(3.3.11) и доказательство теоремы 3.3.3 могут быть проиллюстрированы рисунками 3.3.1 и 3.3.2, которые для наглядности исполнены в различных масштабах.

честве подмножества Dj,k(j,r) представлено подмножество D1,k(1,r). На обоих рисунках по оси абсцисс (H) представлены скалярные произведения (3.3.12) и (3.3.13) в виде последовательно отложенных на этой оси входящих в них слагаемых. А по оси ординат (G) таким же образом представлены скалярные произведения, стоящие, соответственно, в левой и правой части неравенства (3.3.14). Соответственно, Gi и G2, H и H2 - текущие значения этих произведений.

Рис. 3.3.2.

Получим теперь решение рассматриваемой задачи в исходной постановке (3.3.1) - (3.3.2). В силу (3.3.3) имеем

u(U*1,k1) = u(i)** = PjAuj** , i = i = 1,n .

Откуда

AU;** = u(i)**/Pb i = i = 1П .

Найденные таким образом величины Au;** с учетом перестано-вок, указанных перед формулировкой теоремы 3.3.3, будут являться решением задачи (3.3.1)-(3.3.2). Отметим, что имеет место

Auk1** = a(k1)Ask1,

где величина a(k1) задается соотношением (3.3.7), и

Auj** = 0, j = k1 +1, n

а величины d; упорядочены перестановками (отсортированы) так, что имеет место

d1 > d2 > ...>dn.

Как уже указывалось выше, решение задачи (3.3.1)-(3.3.2) для случая > является более громоздким по сравнению со случаем (3.3.36) и здесь не представлено.

Содержательная интерпретация решения (3.3.33)-(3.3.36) состоит в том, что при ограниченном в момент t0 величиной B финансовом ресурсе следует осуществлять закупки Au; для периода [t1,t2], руководствуясь следующими правилами, с тем, чтобы прибыль от продажи закупленных товаров была максимальной:

Необходимо упорядочить товары в соответствии с убыванием рентабельности d; так, что будет иметь место соотношение (3.3.36).

Следует производить закупку (осуществлять формирование заказа) товаров в порядке убывания рентабельности в объемах Au; = As;, где As; - дефицит товара i-го вида (недостаток товара i-го вида для покрытия спроса предстоящего периода [t1, t2]), до тех пор, пока для какого-то товара с номером k1 (номер получен товаром при упорядочивании согласно п. 1 настоящих правил) не будет нарушено первое из условий, входящих в (3.3.2), т.е. финансового ресурса уже не будет хватать для закупки (включения в заказ) товара k1 в полном объеме.

Объем закупки товара с номером k1 определяется соотношением (3.3.34), т.е. товар k1 закупается на все финансовые средства из B, которые остались после закупки товаров с номерами от 1 до k1-1.

Закупка товаров с номерами i=k1+1, n не производится.

Графическая интерпретация полученного результата может

быть также сделана с помощью рисунков 3.3.1 и 3.3.2, если на оси абсцисс (H) каждого из них нанести обозначение "Объем закупок" или "Использование финансового ресурса", или "Себестоимость", а на оси ординат (G) - "Прибыль".

Сформулируем теперь полученный результат в виде краткого практического вывода.

В условиях дефицита финансового ресурса необходимо производить закупку товаров различных видов в порядке убывания рен-табельности этих товаров.

<< | >>

↑

Источник: Заложнев А.Ю.. Прикладные модели и методы внутрифирменного управления М.: ИПУ РАН,2003. - 167 с.. 2003

Еще по теме РАЗДЕЛ 3.3. Задача определения структуры закупки при ограниченном финансовом ресурсе и различной рентабельности товаров.:

- Инновационный менеджмент - Информационный менеджмент - Коммуникационный менеджмент - Кризисный менеджмент - Менеджмент предприятий - Основы менеджмента -