4.3. Задача определения структуры закупки при ограниченном финансовом ресурсе и различной рентабельности товаров

В силу ограниченности финансового ресурса не все виды товаров из набора товаров, реализуемых фирмой, и не все товары в нужном, с точки зрения возможности сбыта, объеме могут быть закуплены по мере возникновения необходимости пополнения запасов на складе фирмы. Очевидно также, что различные товары приносят фирме различную прибыль на единицу инвестированных в них финансовых ресурсов, т.е. товары обладают различной рентабельностью.

Принятию решений об объемах закупок товаров на склад в условиях ограниченности финансового ресурса и различной рентабельности товаров и посвящена модель, формулируемая и исследуемая в настоящем разделе.

Рассмотрим следующую исходную постановку.

Допустим, что рассматриваемая коммерческая фирма производит закупку и реализует товары единственного поставщика (производителя или торгового посредника).

В момент времени to производится заказ товаров на склад для периода [tb t2] так, чтобы за время t = t^— t0 они успели на него поступить. Предполагается, что в момент времени t1-St, где St = 0(t), предшествующий поступлению заказываемой партии товара на склад, на нем будет иметься остаток товаров (всего номенклатура товаров содержит n позиций):

u^, u, • • •, u o. Потребность в товарах (оценка), т.е. оценка количества товаров, которое можно продать в периоде [tb t2], составит, соответственно: sb s2, • ..

As^ = s^—uj°, As2 = s2- u°, •.. ,Asn = sn- u°.

Необходимо определить объем закупок (заказа) товаров в момент t0 для периода [tb t2]: Aub Au2, • .. , Aun с тем, чтобы прибыль от закупки товаров была максимальной.

Финансовый ресурс на закупку товаров ограничен и составляет B единиц, т.е. это та сумма денежных средств, которая может быть инвестирована в товары в момент времени t0.

Продажная цена товара l-го вида составляет Pl, а прибыль на каждую единицу товара l-го вида в абсолютном выражении — Dl. Себестоимость товара составляет Pl — Dl еди-ниц. Обозначим через dl долю прибыли в отпускной цене товара l-го вида:

dl = Dl / Pl, Dl < Pl, 0 < dl < 1.

Тогда доля себестоимости в продажной цене товара составит 1— dl = (Pl — Dl)/Pl. Необходимо определить оптимальный набор товаров (в количественном выражении по каждой позиции), который максимизирует прибыль фирмы в периоде [t1,t2].

На основании вышеизложенного может быть сформулирована следующая задача линейного программирования (ЗЛП):

n

(4.3.1) Z dlPlAul ®®max

l=1

при ограничениях

(4.3.2) I (1 -d.)piAui < B,

i=1

Aui < Asi, i = 1,n;

или, что то же самое,

PiAui < PiAsi, i = 1,n. Очевидно, также имеет место условие, вытекающее из смысла задачи и не являющееся ограничением:

n

е (1- d,)p,д Si> B.

i=1

В противном случае задача имеет очевидное решение:

Au1=As1, Au2=As2, ... ,Aun=Asn. Для решения задачи введем обозначения:

PiAui = u(i), PiAsi = s(i),

UT=(u(1), u(2), ...,u(n)), где U - вектор-строка, соответствующий вектору-столбцу U.

С учетом обозначений (4.3.3) сформулируем ЗЛП (4.3.1) - (4.3.2) в векторно-матричной форме:

CTU ® max

AU ?Ao,

Т7

где C = (d(1),d(2), ...d(n)), где d(i) = di;

1 - d (1) 1 - d (2) ... 1 - d (n)

1 0 ... 0

A = ,

0 0 ... 1

AO = B, s(1), s(2), ...

Двойственная задача к данной ЗЛП имеет вид:

ATX ® min

O X

ATX > C,

где A - транспонированная матрица A, а X - вектор-столбец, соответствующий вектору-строке

XT = (x(1), x(2), x(n+1)).

Решение этих задач (прямой и двойственной) основывается на следующих двух теоремах [115, с. 46 и 63], [169], [305, с. 162 - 164].

Теорема 4.3.1. Если целевая функция принимает максимальное значение в некоторой точке допустимого множества Ui, то она принимает это значение в крайней точке Ui.

Теорема 4.3.2. Если U0 и X0 - допустимые решения прямой и двойственной задачи, и если CTU0 = X^A0, то U0 и X0 - оптимальные решения этих задач.

Крайними точками допустимого множества U являются точки вида

U(i) = (0, ... , u(i) = s(i), 0, ... ,0),

а также их линейные комбинации вида

к

?а( j)U(i) , где а(j ) = 1, к < n, U(l ) # U(r),

j=1

не нарушающие условие допустимости (4.3.5) множества U (если при к = n линейная комбинация является допустимой, то нет дефицита финансового ресурса B и, соответственно, нет задачи). Но в этом случае (а(j ) = 1, к < n) условие допустимости (4.3.5) всегда выполняется как строгое неравенство (за исключением случаев, когда все u(i) = s(i) кратны В). Это означает, что практически всегда происходит недоиспользование финансового ресурса В.

Для достижения полного использования финансового ресурса В можно применить следующее построение.

Допустим, что в сумме (4.3.6) присутствует единственное слагаемое, для которого имеет место а ( j ) < 1, такое что если в этом слагаемом заменить а ( j ) < 1 на а ( j ) = 1, то нарушится условие допустимости (4.3.5).

Предположим, что j=k и покажем, что в качестве а (к) может быть выбрано

B-X(1-d(i))s(i)

а (к) =—^ .

v ; (1-с1(кШк)

Возможность выбора a (к), удовлетворяющего условию (4.3.7) базируется на допущении, что любая цена Pi, i = 1, n , входящая в выражение (4.3.3) для s(i), пренебрежимо мала по сравнению с B, т.е.

Покажем, что решением вышеприведенной ЗЛП является вектор U*:

UT* = (u(1)*=s(1), u(2)*=s(2), u(k)*=a(k)s(k), u(k+1)*=0, u(n)*=0), где UT* - вектор-строка, соответствующий вектору-столбцу U*, а a(k) задается соотношением (4.3.7). Решением ДЗЛП является вектор X* размерности n + 1:

XT* = (x(1)*=0, x(2)*=d(1), x(3)*=d(2), ..., x(k+1)*=a( к) d(k), x(k+2)*=0, x(n+1)*=0). Можно легко проверить, что для заданных векторов U* и X* выполняется соотношение

CTU* = XT*AO,

откуда по теореме 4.3.2: U* и X* - оптимальные решения прямой и двойственной ЗЛП, соответственно.

Поскольку коэффициент a (к) имеет специальный вид

то, нетрудно видеть, что условие допустимости (4.3.5) выполняется как равенство в виде:

n

е (1- d (i ))u(i)*= B

i =1

u (1)* = s (1) u (2)* = s (2)

u(k)* = a(k) s(k) < s(k)

u (k+1)* = 0

u(n)* = 0, (B = B).

Полученное нами решение представлено в параметрической форме, т.е. существует некоторое множество решений, соответствующее различным перестановкам элементов внутри вектора U*, сохраняющим справедливость условий (4.3.8) через выполнение соотношения (4.3.7) для, вообще говоря, различных к. Также следует отметить, что вектор U* может содержать не только к первых, но, вообще говоря, к любых ненулевых элементов, удовлетворяющих условиям (4.3.7) и

.

Для того, чтобы получить решение задачи для конкретных значений u(i)*, u(j)*, т.е. определить: какие u(i)* Ф0, а какие u(j)* = 0, нам необходимо воспользоваться дополнительной информацией, содержащейся в ее условиях. Попытаемся использовать знание соотношений между коэффициентами d(i) для нахождения вектора U** из множества U всех допустимых векторов U*, который и будет решением задачи

(4.3.4) при соблюдении условий (4.3.8) в виде:

n

F(D,U*)= ? d(i)u(i)* ® max

i = 1

при условиях

? (1 -d(i))u(i)*= B,

i=1

u(1)* = s(1) u(2)* = s(2)

u(k)* = a (к) s(k) < s(k) u(k+1)* = 0

u(n)* =0,

где вектор U* может иметь не только к первых, но, вообще говоря, к любых ненулевых элементов, и удовлетворяет условиям (4.3.8).

Вектор U** будем искать непосредственно в виде (4.3.11), т.е.

Решение.

Упорядочим путем соответствующих перестановок множество D = {d(1), d(2), ... , d(n)} так, что d(1) > d(2) > ... > d(n) (случай > более сложный, и его мы рассматривать не будем). Полученное таким образом множество обозначим буквой D. Множество D является упорядоченным множеством. Для элементов D, очевидно, справедливо: 1 - d(1) < 1 - d(2) < ...< 1 - d(n). Выделим из D подмножество D1, k1, состоящее из первых k1 элементов этого множества: D1, k1 = {d(1), d(2), ... , d(k1)} с D

так, что

к1

E(1 - d (i)) u (i)=B,

i=1

где u(i) - /-компонента вектора U*1, k1 , который получается из вектора U* , теми же перестановками, что и множество D из множества D и содержит только k1 первых его элементов. Т.е. если i-элемент множества D переходит в l-элемент подмножества D1, k1, то и i-компонента вектора U* переходит в l-компоненту вектора U*1, k1 (при l ? k1).

Кроме подмножества D1, k1 и вектора U*1, k1 без потери общности будем рассматривать только упорядоченные подмножества и вектора вида Dj, k(j,r) и U*j, k(j,r). Подмножество Dj, k(j,r) получается из множества D путем выборки из этого множества k(j,r) элементов, начиная с j-го элемента (при выборке допускаются пропуски), с выполнением условия аналогичного условию (4.3.12) в виде: Hz»

е (1- d(i))u(i)= B,

i=1

r - номер выборки, где re {1,...,R( j)}, а R(j) - общее количество выборок такого вида, начинающихся с j-го элемента множества D. Вектор U*j, k(j,r) получается аналогичным образом.

Теорема 4.3.3.

F(D1, k1; U*1,k) = max F(Dj, k(j,r); U*j, k(j,r)),

где re {1, ...,R( j)}.

Для доказательства теоремы нам необходимо показать,

что

к1

е d{(.D1M)ut(U*1M)>

(4.3.14) ^

V 7 к (J,r)

> ее d (Dj,к (j,r)) u(U* j,к (j,r))

"re {1,...,R(j)}, где d(% •) = d(i, •, •), u(•, •) = u(i, •, •), и либо j Фl, либо k(j,r) Ф kl.

Рассмотрим два подмножества: D1, kl < D и любое подмножество вида Dj, k ( j,r) < D.

Произведем перестановку элементов подмножеств D1, k1 и Dj, k (j,r) следующим образом:

В качестве первых l элементов каждого из подмно-жеств возьмем их совпадающие элементы, расположенные в порядке убывания.

На оставшихся, соответственно k1—l для подмножества D1, k1 и k (j,r)-l для подмножества Dj, k (j,r), позициях расположим оставшиеся (несовпадающие) элементы этих под-множеств, беря их также в порядке убывания. Вновь образованные подмножества будем обозначать D1, k1 и Dj, k(j,r).

Правило определения номера r задавать не будем. Для первых l элементов подмножеств Dj, k ( j,r) и D1, k1 имеет место:

dL(D1, k1) = dL(D1, k(1,r)), d_ (D1, k1) = d__(D1, k(1,r)), ...,

di (D1, k1) = di (D1, k(1,r)). В качестве примера подмножеств D1, k1 и Dj, k(j,r) рассмотрим следующие подмножества (совпадающие элементы подмножеств подчеркнуты):

D1, k1 (k1=15): 0.59 .58 .57 .56 .55 .54 .53 .52 .51 .50 .49

.48 .47 .46 .45,

Dj, k( j,r) ( j=5, k(5,r)=13): 0.55 .54 .53 .50 .49 .48 .33 .32

.31 .30 .29 .25 .21 Множества D1, k1 и Dj, k( j,r) = D5, k(5,r) соответственно будут иметь вид:

D1, k1: 0.55 .54 .53 .50 .49 .48 .59 .58 .57 .56 .52 .51 .47 .46.45,

Dj, k(j,r): 0.55 .54 .53 .50 .49 .48 .33 .32 .31 .30 .29 .25

.21.

Согласно правилам (1) - (2) произведем также перестановку элементов векторов U*j, k(j,r) и U*1, k1, в результате получим вектора U*j, k(j,r) и U*1, k1 , для первых l элементов которых будут иметь место соотношения:

u1(U*1, k1) = u1(U*j, k(j,r)), u2(U*1, k1) = = u2(U*j, k(j,r)), ul(U*1, k1) = ul(U*j, k(j,r)).

Далее введем обозначение: i i

е di (D1, k1)u (U* 1, k1) = е d, (D1, k(1, r))u (U* 1, k(1, r)) = F1.

i=1 i=1

Таким образом, для доказательства теоремы нам необходимо показать, что

ы

F1+ е di(D1,k1)ui(lf1,k1)>

i=l+1 .

k(1,r)

F1+ е d(D1, k(1,r)) ui(U 1, k(1, r))

i=l+1

Или, что то же самое,

k1

е di(D1, k1) ui(U* 1,k1)>

i=l+1 .

k(1,r)

е di(D1,k(1,r))ui(U 1,k(1,r))

i = l + 1

Введем обозначение:

е (1-di(D1,k1))ui(U* 1,k1) =

i=1

е (1- d(D1, k(1, r)))u(U 1, k(1,r)) = B1

i=1

Тогда в силу (4.3.12) и (4.3.13):

к1

е (1-di(D1,k1))ui(lf 1,k1) = (4.3.17) i=l+1 .

k(1,r)

е (1-di(D1,k(1, r))) u(U 1,k(1,r)) =B-B1

i=l+1

После вводных замечаний перейдем непосредственно к доказательству теоремы 4.3.3. Доказательство.

Разделим левую и правую части неравенства (4.3.16) на (4.3.17), получим:

k1

е di(D1,k1)ui(U * 1,k1)

i=l+1 ^^^^ >

B-B1

k(1,r )

е dl(D1,k(1,r))ul(U* 1, k(1, r))

i=l+1

B-B1

Или, что то же самое,

k1

е di(D1,k1)ui(U* 1,k1)

i=l+1 > k1

е (1-dl(D1,k1))ul(u* 1,k1)

i=l+1 .

k(1,r)

е dl(D1,k(1,r))ul(U* 1,k(1,r))

i=l+1 k(1, r)

е (1 - d, (D1, k(1, r)))u (U\' 1, k(1, r))

i=l+1

Обозначим

d = min{d (l+1), d(ll+_),..., d(k)} < D1, k1;

d= max{d (l+1), d (l+_),..., d(k (1,r))} Очевидно в силу упорядоченности D1, k1 и D1, k (1,r): d_ = d (k) < D1, k1, а d = d (l+1) Также очевидно, в силу того, что только l элементов D1, k1 и D1, k (1^)совпадают, имеет место

d > d,

и поскольку в силу условий задачи

0 < di(*) < 1, "i: n > i > 1,

и, очевидно,

1- d = max{1- d (l+1), 1- d (l+_),..., 1-d (k)} = 1- d (k),

{d (l+1), d (l+_),..., d(k)} и

1-d= min{1-d (l+1), 1-d (l+_),..., 1-d (k (1,r))}=1-d (l+1),

{d (l+1), d (ll+_),..., d (k)} то и

1-d > 1-d.

Из (4.3.19) и (4.3.22) следует k1

? di(D1,k1)ui(U * 1,k1)

i=1+1 >

k1

?(1 - di(D1,k1))ui(U* 1,k1)

i=i+1

k1

(4.3.25) ? duUhk1)

> i=i+1

k1

?(1 - d )ui(U * 1,k1)

i=i+1

а из (4.3.20) и (4.3.23) -

k(1,r )_

е du(U * 1,k(1,r))

>

l=l+1

k(1,r)

(43 26) е (1-d)u(U 1,k(1,r))

k(1,r)

е dl(D1,k(1,r)) u(U* 1,k(1,r))

l=l+1

k(1,r)

е (1 - dl (D1, k(1, r))) щ (U* 1, k(1, r))

l=l+1

Преобразуем правую часть неравенства (4.3.25):

k1

е dui(U* 1,k1)

i=l+1

k1

е (1-d)u(u* 1,k1)

(4.3.27) ~+1

k1

d е u(U * 1,k1)

i=l+1 d

(1-d)е ui(U* 1,k1) (1-d

i=l+1

Преобразуем левую часть неравенства (4.3.26):

k(1,r) _

е du(U" 1, k(1,r))

i=l+1 = k(1,r) _

е (1-d)u(u\' 1,k(1,r)) (4.3.28) 1=l+1 .

k(1,r)

d е u(u\' 1,k(1,r)) -

i=l+1 _ d

(1-d)е ui(U\' 1,k(1,r)) {n-aj

i=l+1

Из (4.3.21) и очевидного ограничения 0 < d, d < 1 следует (4.3.29) d

(1-d) (1-d)

Откуда с учетом (4.3.25) и (4.3.26):

k1

е di(D1,k1)ui(U * 1,k1)

d

i=l+1 > — >

е (1-di(D1,k1))ui(U* 1,k1) (1~d) (4.3.30) i=l+1

k(1,r)

- е di(D1,k(1,r))ui(U - 1,k(1,r))

> d > i=l+1

(1 d ) k(1\'r) (1 d е (1-di(D1,k(1,r)))ui(U 1,k(1,r))

i=l+1

Откуда

k1

е d^i(D1,k1) ui(U 1,k1)

i= l+1 ~ki

е (1-di(D1,k1))ui(U 1,k1) (4.3.31) i=l+1

k(1,r)

е di(D1,k(1,r))ui(U1,k(1,r))

> i= l+1

е (1-di(D1,k(1,r))) ui(U 1,k(1,r))

i=l+1

Но поскольку согласно (4.3.17): k1

е a-d(D1,id))ui(U 1, k1)=

i=l+1

k(1,>) \' е (1-d(D1, k(1, r))) 1, k(1, r)) =B-B1

i=l+1

т.е. знаменатели обеих дробей, стоящих в левой и правой частях неравенства(4.3.31), совпадают, то имеет место (4.3.16):

k1

е di(D1,k1)ui(U* 1,k1)>

i=l+1

k» \' е di(D1,k(1,r))ui(U\' 1,k(1,r))

i= l+1

и справедливо соотношение (4.3.15). Далее с учетом инвари-антности (4.3.14) по отношению к перестановкам (1) - (2), на основании которых из подмножеств D1, k1 и Dj, k(j,r) получаются подмножества D1, k1 и Dj, k(j,r), устанавливаем справедливость соотношения (4.3.14):

k1

е diPW^flf 1,k1)>

i=1

k(1,r) 9

е dl(Dj,k(j,r))ut(Uj,k(j,r))

i=1

и, следовательно, теорема доказана.

Мы доказали тот факт, что подмножество D1, k1 < D и соответствующий ему вектор U*1, k1 е Uk1 < U1 обеспечивают максимум функции (4.3.9) при условиях (4.3.10) и (4.3.11),

где Uk1 z U и U - соответственно к1-мерное и n-мерное евк-лидовы пространства. При этом проекции вектора U*1, k1 на остальные п-к1 координатных осей U равны нулю, т.е. имеет место:

U** = U*1, k1.

Проекции на оси 1,...к1-1 являются максимально допустимыми. Т.е. u(i)=s(i), i = 1,к1 - 1; а проекция на ось к1 задается соотношением и(к1)=а (к1) з(к), где коэффициент a (к1) имеет вид (4.3.7) при к=к1, т.е. U*1, k1 и будет являться решением задачи (4.3.4) при ограничениях (4.3.5):

(4.3.32) е d{ (D1,k1 X (U1,k1)= max CTU ,

i = 1

AU ? A0.

Вообще говоря, можно рассматривать множество D, подмножества D1, k1 и Dj, k(j,r) как вектора в соответствующих евклидовых пространствах размерности n, k1, k(j,r), соответственно, а выражение, стоящее в правой части равенства (4.3.32), - как скалярное произведения в пространстве размерности n, а в левой части этого равенства - как скалярное произведение в пространстве размерности k1.

Решение задачи (4.3.9) - (4.3.11) и доказательство теоремы 4.3.3 могут быть проиллюстрированы рисунками 4.3.1 и 4.3.2, которые для наглядности исполнены в различных масштабах. На этих рисунках в целях упрощения (не требуется перехода от Dj, k (j,r) к Dj, k (j,r) и от D1, k1 к D1, k1 ) и кра-соты изображения в качестве подмножества Dj, k (j,r) представлено подмножество D1, k (1,r).

На обоих рисунках по оси абсцисс (H) представлены скалярные произведения (4.3.12) и (4.3.13) в виде последовательно отложенных на этой оси входящих в них слагаемых. А по оси ординат (G) таким же образом представлены скалярные произведения, стоящие, соответственно, в левой и правой части неравенства (4.3.14). Соответственно, G^ и G2, H и H2 - текущие значения этих произведений.

k1

k(1,r )

е diui

i-1 v

G

G2 -

G - е diui

ч

H

+dtui

+du u-1 + •••

+d2 u2

d1u1

=F(D1, k1;U*1, k1) =F(D1, k(1, r);U*1, k(1, r))

H1=(D1, kl;U 1, kl): (1-di) u1+(1-d2) M2^(l-dl-1) Пц+(Ы) щ=B1 +(1-40 %+...+(1-4) пк1=B H2=(D1, k(l, r);U*l, k(l, r)): (l-dl) щЩ^) щ.^Щ %1+(Ц) u=Bl +(Wm) MM+...+(1-4ar)) % )=B

Рис. 4.3.1. К доказательству теоремы 4.3.3

VG

>У

p

tg g - d

"к

tg b - d

F(D1,k1;U 1,k1)

/

/

FD1k(hrAU 1,k(1,r))

F1

/

/

/ k(1,r) G - ? diui

i=1

^ZJ s\' k1 p " ""G<1 - ? diui

H

B

i=1

Рис. 4.3.2. К доказательству теоремы 4.3.3

Получим теперь решение рассматриваемой задачи в исходной постановке (4.3.1) - (4.3.2). В силу (4.3.3) имеем

Ui(U*1, k1) = u(i)** = РД^** , i = i = 1Я

Откуда

Ли** = u(i)**/Pi, i = Т7П.

Найденные таким образом величины Dui** с учетом перестановок, указанных перед формулировкой теоремы 4.3.3, будут являться решением задачи (4.3.1) - (4.3.2). Отметим, что имеет место

Duk1** = a(k1)Dsk1,

где величина a(k1) задается соотношением (4.3.7), и

Duj** = 0, ]=И+; n,

а величины di упорядочены перестановками (отсортированы) так, что имеет место

d1 > d2 > .„>dn.

Как уже указывалось выше, решение задачи (4.3.1) - (4.3.2) для случая > является более громоздким по сравнению со случаем (4.3.36) и здесь не представлено.

Содержательная интерпретация решения (4.3.33) - (4.3.36) состоит в том, что при ограниченном в момент t0 величиной B финансовом ресурсе следует осуществлять закупки Dui для периода [t1,t2], руководствуясь следующими правилами, с тем, чтобы прибыль от продажи закупленных товаров была максимальной:

Необходимо упорядочить товары в соответствии с убыванием рентабельности di так, что будет иметь место соотношение (4.3.36).

Следует производить закупку (осуществлять формирование заказа) товаров в порядке убывания рентабельности в объемах Dui = Dsi, где Dsi - дефицит товара i-го вида (недостаток товара i-го вида для покрытия спроса предстоящего периода [tb t2]), до тех пор, пока для какого-то товара с номером k1 (номер получен товаром при упорядочивании согласно п. 1 настоящих правил) не будет нарушено первое из условий,

входящих в (4.3.2), т.е. финансового ресурса уже не будет хватать для закупки (включения в заказ) товара k1 в полном объеме.

Объем закупки товара с номером k1 определяется соотношением (4.3.34), т.е. товар k1 закупается на все финансовые средства из B, которые остались после закупки товаров с номерами от 1 до k1 - 1.

Закупка товаров с номерами i = k1 + 1,..., n не произ-водится.

Графическая интерпретация полученного результата может быть также сделана с помощью рисунков 4.3.1 и 4.3.2, если на оси абсцисс (H) каждого из них нанести обозначение «Объем закупок» или «Использование финансового ресурса», или «Себестоимость», а на оси ординат (G) - «Прибыль».

Сформулируем теперь полученный результат в виде краткого практического вывода.

В условиях дефицита финансового ресурса необходимо производить закупку товаров различных видов в порядке убывания рентабельности этих товаров.