4.4. Задача определения оптимального количества сотрудников сервисного центра

Допустим, что входящий поток заявок на обслуживание удовлетворяет требованиям стационарности, независимости от предыстории процесса (отсутствие последействия) и ординарности потока (вероятность того, что в интервале времени dt поступит более одной заявки, есть величина бесконечно

малая по сравнению с dt). Такой поток называется простейшим, а интервал времени между событиями - приходами последовательных заявок на обслуживание является случайной величиной, распределенной по показательному закону (см., например, [115, с. 266 - 269]) с плотностью распределения p(t) = l e-1t, t > 0, которое характеризует количество заявок на обслуживание, поступающих в сервисный центр в единицу времени.

Продолжим содержательное описание задачи. В сервисном центре работает некоторое количество специалистов, занимающихся обслуживанием оборудования. Работа каждого из этих сотрудников по обслуживанию разовых заявок может быть охарактеризована средним временем обслуживания 1/m При этом интенсивность обслуживания (среднее количество заявок, обслуживаемых в единицу времени) равна д.

Будем исходить из того, что время обслуживания заявки специалистом также является случайной величиной и имеет показательное распределение с плотностью p(t) = m e-mt, t > 0.

Предположим, что число работающих в сервисном центре специалистов равно n. Если в момент поступления заявки на обслуживание оборудования все специалисты уже заняты обслуживанием других, пришедших ранее заявок, то эта заявка ставится в очередь.

Такая система называется n-канальной системой массового обслуживания (СМО) с ожиданием (см., например, [69, с. 262 - 263]).

Для такой СМО известно [69 с. 262 - 263], что, если выполняется соотношение

l л

С = — <1 mn

то существует стационарный режим ее функционирования с конечной длиной очереди на обслуживание. Если имеет место c > 1, то очередь будет неограниченно возрастать ([69, с. 262 - 263]).

Таким образом, сразу можно утверждать, что число специалистов сервисного центра n должно быть больше чем l /д.

Возвращаясь к содержательной постановке, следует отметить, что время реакции на заявку не должно превышать ^еакц, в противном случае фирма уплачивает заказчику штраф в размере s за каждую единицу времени, которая прошла после истечения ^еакц до времени начала обслуживания заявки специалистами сервисного центра.

Для такой СМО, для известных Я и m и заданного n можно определить среднее время нахождения заявки в очереди ([69, с. 262 - 263], [283, с. 444 - 445]):

. n

t = Г Р 0

nmn! (1 - c )2\' где r = Я /m, c = r /n,

1

p о _ 7 2 n n+1 ;

+ r + + ...+ + (r )

1! 2! n! n! (n - r)

v

Таким образом, в случае, если t^ > tреакц, за каждую еди-ницу времени фирма в среднем уплачивает штраф в размере Я(^ж - ^еакц)я, где, как уже отмечалось выше, Я - среднее количество заявок на обслуживание, поступающих в единицу времени.

Средняя заработная плата каждого специалиста сервисного центра составляет z единиц в единицу времени. Поскольку число специалистов составляет n человек, то общая сумма зарплаты, выплачиваемой фирмой специалистам сервисного центра в единицу времени составляет nz.

Сформулируем задачу нахождения оптимального коли*

чества специалистов сервисного центра n , которое миними-зирует суммарные издержки фирмы в виде штрафов за опоздание с началом обслуживания заявок и заработной платы сотрудников сервисного центра: n = arg min F(n), F(n) = = Я (^Ж(П) - tреaкц) s + nz, где n GM aV, Щ < n < n2 и tреaкц = = const; Щ и n2 - соответственно нижняя и верхняя границы множества M:

Я

(4.4.1) щ: max n GN: c _ — ^ 1,

mn

(4.4.2) П2: min n GN: ^ж(п) < tреакц; П1, П2 gM.

Содержательно: n1 - максимальное из всех n GN, при которых очередь на обслуживание неограниченно возрастает; n2 - минимальное из всех n GN, при которых время ожидания заявки меньше чем установленное время реакции.

Сформулированную задачу будем решать методом перебора по n GM при заданных значениях Я, m, s и z. Значение n1 определим из неравенства, фигурирующего в (4.4.1).

Будем решать задачу для значений параметров Я = 5, m = 1, z = 1 и значений параметра s последовательно равных 4z, 1z, 0.25z. При этом р = Я /m = 5, и на основании неравенства из (1) и условия n1 GN также имеет место n1 = 5, откуда следует n > 6. В качестве единицы измерения времени при расчете величины F(n) примем 1 месяц. Величина ^еакц = 4 (часам) » 0.0056 (месяца при 30 днях в месяце), что соответствует реальному времени реакции при обслуживании заявок на ремонт технологического оборудования.

Решение задачи приведено в таблицах 4.4.1 и 4.4.2.

Из таблицы 4.4.1 видно, что t^ (n = 11) = 1.8 (часа) < < ^еакц = 4(часа), откуда следует, что n2 = 11 и M = = {6,7,8,9,10}.

Из таблицы 4.4.2 видно, что для приведенных значений Я, m, z и, соответственно, значений s равных 4, 1, 0.25 получаем значения n соответственно равные 8, 7 и 6. Это и будут оптимальные значения количества специалистов при вышеприведенных значениях параметров.

Табл. 4.4.1. Расчет времени ожидания\r\nn 6 7 8 9 10 11\r\nРо 0.0045 0.0060 0.0065 0.0066 0.0067 0.0067\r\n^ож (в

меся-цах) 0.5859 0.1628 0.0560 0.0200 0.0072 0.0025\r\ntож (в

сутках) 17.577 4.884 1.68 0.6 0.216 0.075\r\ntож (в

часах) 421.848 117.216 40.32 14.4 5.184 1.8\r\nТабл. 4.4.2. Определение оптимального количества сотрудников

\r\nn 6 7 8 9 10 \r\ns=4 F(n) 17.606 10.144 9.008 9.288 10.032 * „ n =8\r\ns=1 F(n) 8.902 7.786 8.252 9.072 10.008 * F4

n =7\r\ns=0.25 F(n) 6.725 7.197 8.063 9.018 10.002 n=6\r\nРешение задачи может быть проиллюстрировано рисунком 4.4.1. По оси абсцисс отложена величина n, а по оси ординат, соответственно, /ож(п), заданное в целях большей наглядности в днях, величина суммарной месячной зарплаты nz и величина F(n), полученная при s = 4z = 4. Также в целях наглядности, хотя задача решалась только для целых n, соседние в смысле значений ординаты точки (например, /ож(п) и *ож(п+1)) соединены отрезками прямых.

1ож n

F(n)

Рис.

сотрудников

На основе полученных результатов можно сделать следующий практический вывод. В случае, если величина штрафа s за опоздание с началом обслуживания относительно мала по сравнению со средней зарплатой специалиста s (например, для нашей задачи случай s = 0.25) за тот же период времени, и известны средняя интенсивность потока заявок (А) и средняя производительность труда специалиста по их обслуживанию (m), нет смысла проводить достаточно громоздкие расчеты по определению n , а в качестве оптимальной величины количества специалистов можно принять величину n\\ + 1, т.е. в таком случае оптимальным будет минимальное количество специалистов, при котором уже обеспечивается ограниченность очереди на обслуживание. Для рас-сматриваемой задачи n (s = 0.25) = n1 + 1 = 6.

В заключение еще раз отметим, что в настоящем разделе сформулирована и исследована задача определения оптимального количества сотрудников сервисного центра в зависимости от интенсивности потока заявок на обслуживание, поступающих в сервисный центр в единицу времени, среднего времени обслуживания одной заявки, средней заработной

платы сотрудников центра и величины штрафа, уплачиваемого фирмой (хозяйствующим субъектом), за превышение декларируемого лимита времени от момента поступления заявки на обслуживание до начала ее выполнения.