РАЗДЕЛ 3.2. Модели принятия решений об объемах закупок фирмой - оптовым покупателем в зависимости от оценки объемов предстоящих розничных продаж

Рассмотрим экономическую систему, состоящую из трех типов хозяйствующих субъектов: производитель, оптовый покупатель - эксклюзивный дистрибьютор (дилер) и прочие покупатели, которые имеют возможность покупать товар только у эксклюзивного дистрибьютора.

ного вида. Минимальный объем V товара, который может быть за-куплен оптовым покупателем у производителя, равен 1.

Рассмотрим следующую модельную ситуацию (модель I). Дилеру (организации) необходимо спланировать объем V закупок то-вара в периоде 7+1, если известен объем закупок товара в периоде Т-1, который составил V0. При этом товар был полностью реализован. Период Т не рассматривается, так как он еще не завершен и о нем нет еще полной информации - неизвестен, например, оконча-тельный объем реализации. Предполагается (менеджерами) в периоде Т+1 увеличить объем закупок, доведя его до величины V. Закупки товаров дилером производятся по отпускной цене производителя b(V), а продажа покупателям - по розничной цене q. Для целей настоящей задачи величина V предполагается непрерывной, что может интерпретироваться либо как малость стоимости единицы товара по сравнению с минимальным объемом закупок (V=1), либо как наличие непрерывной шкалы скидок к отпускной цене производителя b(V) в зависимости от достигнутого объема дилерских закупок V.

Предположим, что отпускная цена производителя зависит от объема закупок эксклюзивного дистрибьютора V и имеет вид, представленный на рис.

Рис.3.2.1.

Содержательно функция b(V), представленная на рис. 3.2.1, может быть прокомментирована следующим образом. На первом участке - [1,Va] отпускная цена производителя остается постоянной, т.е. производитель не реагирует ценой на изменение объема дилерских закупок. На втором участке - (Va, Vb] отпускная цена производителя линейно убывает:

b(V) = aV + с, где а < 0, т.е. производитель стимулирует увеличение дилерских закупок путем снижения отпускной цены по мере увеличения объема закупок. На третьем участке - (Vb, Vmax] отпускная цена производителя остается неизменной поскольку она определяется уровнем его переменных издержек. Величина Vmax равна либо производственным возможностям производителя, либо квоте, установленной им для данного дилера. Розничная дилерская цена q для целей настоящего рассмотрения предполагается неизменной, т.е. не зависящей от величины V: q = const = q0, q > b(V). См. рис. 3.2.1.

Прибыль дилера от продаж в периоде Т в случае, если все закупленное в этом периоде в объеме V по цене b(V) будет продано в этом же периоде по цене q, определяется соотношением:

P(V = (q - b(V))V.

В случае, когда объем закупок в периоде Т составит величину V, а объем продаж за тот же период - только величину Vr (Vr < V), то прибыль дилера от продаж за этот период составит:

P(V) = (q - b(V)) Vr - b(V)(V- Vr) = qVr-b(V)V.

Рассмотрим сначала случай, когда V0 е (Va, Vb]. Если, как мы условились выше, функция b(V) имеет вид

b(V) = aV + с, где а < 0, то функция P(V) преобразуется к виду

P(V) = qVr - (aV + c)V = -aV2 - cV +qVr.

В силу того, что а < 0, график функции P(V) представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Данная функция на V е (-?, +?) имеет минимум. Для нахождения этого минимума приравняем к нулю производную dP/dV:

— = -2aV - c = 0, dV

откуда Vext = с/(-2а).

Если точка Vext расположена на оси V как Vext1 либо как Vext2, то в силу того, что для искомого оптимального значения V* должно выполняться соотношение V* > V0 (поскольку содержательно идет речь об увеличении объема закупок, а не об его уменьшении), то в качестве V* выбираем V0: V* = V0.

Если точка Vext расположена на оси V как Vext3, то

V* = arg max {P(V), P(Vb)}.

Если точка Vext расположена на оси V как Vext4, то, очевидно (см. рис. 3.2.1), V* = Vo.

Из полученных результатов (1)-(3) видно, что только в случае (2), т.е. когда Vext расположена как Vext3 (Vext = Vext3), величина V* может принимать значение отличное от V0. Этот случай, безусловно, требует рассмотрения, но поскольку во всех остальных случаях (Vext = Vext1, Vext2, Vext4) величина V* принимает значение V0, то в качестве оперативного практического решения в ситуации, описанной в вышеприведенной модели, может быть принято V* = V0.

Рассмотрим еще более простой случай, когда b(V)=b0, т.е. отпускные цены производителя являются постоянными или, что тоже самое, Ve [1, VJ либо Ve [V^VmaJ. При этом P(V) = qVr - b0V.

Поскольку также q=const, то максимум функции P(V) достигается либо при максимальном Vr, либо при минимальном V. Рассмот-

рим процесс принятия решения дилером о выборе величины V объема закупок на следующий (Т+1)-й период более подробно. Предположим, что в последнем из закончившихся периодов хозяйствен-ной деятельности - периоде (Т-1) дилером был реализован товар в объеме V0. Допустим, что менеджеры по закупке (продаже) планируют закупить для реализации в периоде (Т+1) товар в объеме V. Тогда в зависимости от соотношения между объемом покупательского спроса в периоде (Т+1) - Vr и объемом закупок у производителя в периоде (Т+1) - V величина прибыли Р(Т+1) может принять следующие значения:

а) Vr >= V - т.е.

Р(Т+1) = qV - b0V = (q-b0)V.

б) Vr < V - товар будет реализован только в объеме Vr. Тогда

Р(Т+1) = (q-b0)V- q(V-V) = qV - bV

Откуда величина прибыли Р в периоде (Т+1) в зависимости от объема спроса в этом периоде - Vr, как параметра, и объема закупок V, как аргумента, может быть представлена в виде

PV )=l(q

b0 V, Vr > V

b0 )V - q(V - Vr) Vr < V

Для принятия решения об увеличении объема закупки в периоде Т+1 по сравнению с периодом Т-1 (решение принимается в периоде Т, который еще не завершен, и по которому отсутствуют точные отчетные данные) финансовый отдел, который фактически является коллегиальным лицом, принимающим решения, может руководствоваться сведением о величине дополнительной прибыли, которая может быть получена вследствие увеличения объема закупок и, соответственно, продаж в периоде Т+1 по сравнению с периодом Т-1. Если в периоде Т-1 объем продаж был равен объему закупок и составил величину V0, а прибыль соответственно составила величину

Р(Т-1) = (q - b0)V0, то дополнительная прибыль АР от увеличения объема закупок с V0 до V при условии а) V < Vr составит:

АР = (q-b0)V- (q-b0)V0 = (q-b0)VV), а при условии б) V > Vr составит:

АР = (q-b0)V - q(V-Vr) - (qA)V = (q-b0)(V-V) - q(V-V).

Или, что тоже самое,

(321) DPИ =(q-b0)(V-V0\\V?Vr («)

ID - q(V - Vr ),V > Vr (б)

Рассмотрим случай, когда сотрудники финансового отдела, исходя из требований бухгалтерского учета (необходимость пессимистической оценки), в качестве гарантированного объема реализации в периоде Т+1 выбирают объем реализации, достигнутый в периоде Т-1, - объем V0. С точки зрения нашей модели это означает, что в соотношении (3.2.1) следует заменить Vr на V0, исключив из рассмотрения случай (а), т.к. в данном случае V > V0 по смыслу задачи, и рассмотреть только случай (б). Тогда имеем

АР = (q-b0)(V-V0) - q(V-V>) = -^(V-V,).

Из рассмотрения средней части этого равенства видно, что поскольку |q| > |q-b0|, то в данном случае отрицательная составляющая прироста прибыли растет быстрее его положительной составляющей, что может быть проиллюстрировано рисунком 3.2.3.

На основании только что полученного результата можно сделать вывод о том, что в случае, когда увеличение дилерских закупок у производителя не приводит к уменьшению отпускных цен производителя, т.е.

а) когда в текущем периоде Т наблюдается существенное увеличение объема продаж по сравнению с периодом Т-1;

б) когда увеличение объема дилерских закупок с V0 до V приводит к существенному уменьшению доли постоянных накладных расходов, приходящихся на единицу закупаемых дилером товаров в натуральном и/или в стоимостном выражении. Этот случай эквивалентен, вообще говоря, рассмотренному выше случаю, когда отпускная цена производителя b(V) убывает с увеличением объема дилерской закупки V. Но как было показано выше, для этого случая, за исключением единственного исключения, справедливы те же содержательные выводы, что и для случая, когда b(V) = b0.

Рассмотрим теперь соотношение (3.2.1) с точки зрения менеджера. Для случая (б) - (V > Vr) перепишем его в виде: АР = (q - b0)(V- V0) - q(V- V) С точки зрения менеджера (оптимистическая точка зрения), в отличие от пессимистической точки зрения финансового отдела, выполняется соотношение Vr > V0. Более того, менеджер обычно считает, что может произвести более или менее точную оценку величины Vr. Этот случай может быть проиллюстрирован рисунком 3.2.4, на котором слагаемые, входящие в выражение для АР, представлены в виде отдельных прямых. Поскольку, как видно из рисунка 3.2.4, величина дополнительной прибыли АР при V = Vr достигает максимума, а при значениях V таких, что V > Vr, начинает убывать, то менеджеры, очевидно, будут настаивать на том, чтобы в периоде Т+1 объем закупок был увеличен с V0 до Vr.

Рассмотрим процесс принятия решения о выборе объема закупок, в котором участвуют менеджеры по закупкам и продажам, с одной стороны, и сотрудники финансового отдела, с другой, более подробно.

АР = (q - b0)(V - V0).

По мнению же финансиста, фирма-дилер в периоде Т+1 сможет реализовать товар лишь в объеме V2: V0 < V2 < V\\. И, следовательно, закупив товар в объеме V\\, фирма-дилер получит дополнительный доход (дополнительный убыток) в размере (3.2.2) АР = (q - &0XV2 - V0) - q(V\\ - V2).

Поскольку финансовые риски лежат на финансисте (финансовом отделе), то он, как лицо, принимающее решение, может следовать, например, такой стратегии: пойти навстречу менеджеру и допустить увеличение объема закупок свыше величины V2, которая представляется ему гарантированной, до объема V* так, чтобы объем дополнительной прибыли, имеющий, по его оценке, максимум при V = V2, стал бы равным нулю. В этом случае, если финансист окажется прав, фирма-дилер не получит в периоде Т+\\ дополнительных убытков, а если окажется прав менеджер - фирма получит дополнительную прибыль. Заменяя V\\ на V* в соотношении (3.2.2) и приравнивая его к нулю, получаем соотношение для определения величины V*:

(q - b0)(V2 - V0) - q(V* - V2) = 0,

откуда

\' bS

V * = V2 +

1 -^ l(V2 - V0).

q 0 >0

>0

Вышеприведенные рассуждения могут быть проиллюстрированы рисунком 3.2.5.

оценка финансиста оценка менеджера

Рис. 3.2.5.

Рассмотрим еще одну содержательную модель (модель II), основанную на следующих предпосылках:

Известна зависимость оптовых цен производителя от объема дилерских закупок - b(V).

Розничные цены дилера q определяются производителем и связаны с отпускными ценами производителя b для заданного объема закупок V соотношением:

q(V) = (1 + a) b(V), a > 0.

Менеджер дает точную оценку величины Vr - максимального объема продаж в периоде Т+1, причем Vr > V0, где V0 - объем продаж в периоде Т-1. Необходимо определить величину объема закупок V = V*, при которой достигается максимум дополнительной прибыли АР, которая задается соотношением аналогичным соотношению (3.2.2) с учетом сделанных только что допущений:

АР = [q(V - b(V)](V- V0) - q(V)(Vr - V).

Предположим, что, как и в статье [127], зависимость оптовой цены производителя от объема дилерских закупок является линейной и имеет вид

b(V) = aV + с, где а < 0.

Откуда получаем следующее соотношение для величины дополнительной прибыли АР:

DP = [(1+a)b(V) - b(V)](V-V0) - (1+a)b(V)(Vr-V) = = b(V)[(1+2a)V-(1+a)Vr -aV0].

Поскольку из смысла задачи V > Vr, V0, то (1+2 a) V - (1+a) Vr - aV0 > 0 и график функции DP(V) представляет собой параболу, на-

правленную ветвями вниз и достигающую на [-?,+?] своего макси-мума.

Поскольку b(V) = aV + с, где а < 0, то, введя коэффициент а\\ так, что а\\ = -а (а\\ > 0), получаем:

b(V) = -а\\ V + с,

откуда

АР = (-a\\ V + c)[(i + 2a)V - (i+ a)Vr - aV0] =

= -a\\(\\+2a)V2 + a\\[(\\+a)Vr + aV0]V + + (\\+2a)cV+ ... члены, не зависящие от V. Для нахождения значения V = V приравняем производную dAP/dV к нулю и получим:

dAP/dV = -2a\\(\\+2a)V + a\\[(!+a)Vr+aV0] + (R2a)c = 0, откуда

V * = a,[(l + a)Vr + aV ] + c(\\ + 2a) 2a, (\\ + 2a)

Вычислим значение V* для следующего модельного набора ко-эффициентов и параметров:

а = -0.0\\, a\\ = 0.0\\ с = L3, V0 = 30, Vr = 60, a= 0.5. Подставляя их в (3.2.3), находим: V* = 9L25.

Результат исследования модели II может быть проиллюстрирован рисунком 3.2.6, где использованы следующие обозначения:

АР1 = [(\\+a)b(V - b(V)](V-V), АР2 = ^ab^^-Vr).

При этом, очевидно,

АР = АР1+АР2.

Полученный результат означает, что для заданных ценовых зависимостей b(V), q(V), известного объема реализации товара дилером в периоде Т-\\ - V0 и заданной менеджерами оценки объема реализации в периоде

В этом разделе были рассмотрены две модели принятия решений об объемах закупок фирмой - оптовым покупателем у производителя в зависимости от оценок объемов предстоящих розничных продаж, которые делают сотрудники различных подразделений фирмы, принимающих участие в выработке такого решения.

\'b(V), q(V)

Vr

1,0

0,5

V = 91,25.

V0=30 40 50

-J ^—¦ 1 >

60 70 80 90 100 V

Рис. 3.2.6.

Основное содержательное отличие моделей, представленных в настоящем разделе, от моделей, представленных в разделе 3.1, состоит в следующем:

а.) В моделях настоящего раздела предполагается, что производитель сам определяет либо отпускную цену дилера для конечных покупателей (модель I), либо торговую наценку, получаемую дилером (модель II).

б.) В моделях настоящего раздела, в отличие от моделей раздела 3.1, реакция конечного покупателя на изменение цен не учитывается.