Примеры

Предприятие располагает ресурсами двух видов сырья и рабочей силы, необходимыми для производства двух видов продукции. Затраты ресурсов на изготовление одной тонны каждого продукта, прибыль, получаемая предприятием от реализации тонны продукта, а также запасы ресурсов указаны в следующей таблице: \r\nРесурс Расход ресурса Запас ресурса\r\n на продукт 1 на продукт 2 \r\nСырье 1, т 3 5 120\r\nСырье 2, т 4 6 150\r\nТрудозатраты, ч 14 12 400\r\nПрибыль единицы продукта, тыс.

Вопросы:

Сколько продукта 1 следует производить для того, чтобы обеспечить максимальную прибыль?

Сколько продукта 2 следует производить для того, чтобы обеспечить максимальную прибыль?

Какова максимальная прибыль?

Решение. Пусть x1 — объем выпуска продукта 1 (в тоннах), х2 — объем выпуска продукта 2 (в тоннах). Тогда задача может быть описана в виде следующей модели нелинейного программирования:

І їх, + 16х2 + 0, їх,2 + 0,12Х22 + 0,22Х,Х2 шах,

Зх, + 5Х2 < 120,

4х| + 6х2 < 150,

!4х, + 12х2 < 400, х,,х2>0.

При использовании программы GINO исходную информацию для решения этой задачи представляем в следующем виде:

MODEL:

MAX = 11 *X1 + 16*X2 + 0.1 *X1 *X1 + 0.12 * X2 * X2 + + 0.22 * XI * X2 ;

3*X1 + 5*X2< 120;

4 * XI + 6 * X2 < 150 ;

14 * XI + 12 * X2 < 400 ;

XI > 0 ;

X2 > 0 ; END

Получаем следующий результат: OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 507.407407\r\nVARIABLE VALUE REDUCED COST\r\nX! 16.666667 0\r\nX2 13.888889 0\r\nОтветы: 1.

Клиент поручил брокерской конторе купить для него на 1 млн руб. акции трех известных ему компаний. Сделка заключается на год. Клиент заинтересован, с одной стороны, в максимизации средней прибыли на вложенный капитал, а с другой — в минимизации риска, поскольку прибыль, получаемая в конце года от акции каждой компании, является величиной случайной. Известно, что чем прибыльнее акция, тем выше связанный с ней риск, поэтому названные критерии являются противоречивыми. Клиенту это обстоятельство разъяснили и попросили его указать относительную значимость («вес») критериев. Клиент, будучи человеком осторожным, высказал пожелание, чтобы риск учитывался с весом втрое большим, чем прибыль. Получив такие указания, сотрудники брокерской конторы сформулировали следующую модель нелинейного программирования:

з 3

Е и, х, — З ? ац X: X: max,

j.A^J j i,j= 1 у \' j

Іх,= 1000, ;=1 J

x;>0, j= 1,2,3,

где х}- — объем средств, затраченных на покупку акций типа j (тыс. руб.); m — математическое ожидание процента прибыли от вложения 1 тыс. руб. в акции типа j; Sjj — дисперсия указанного выше процента прибыли;

Sj — ковариация между процентами прибыли от вложения 1 тыс. руб. в акции типа i и j (i Ф j). Первая сумма в критерии — ожидаемое значение прибыли, обеспечиваемой пакетом акций, вторая — дисперсия прибыли пакета акций, взятая с «весом» 3. Дисперсия прибыли пакета акций служит мерой риска.

Пусть средние значения процентов годовой прибыли от акций компаний составляют соответственно 8,

10 и 13%. Дисперсии Он = 0,1, S22 = 0,15, а33 = 0.19. Ковариации О12 = 0,01, О13 = 0,02, О23 = 0,03. Вопросы:

Является ли целевая функция строго вогнутой?

Какую сумму следует вложить в покупку акций типа 1?

Какую сумму следует вложить в покупку акций типа 3?

Решение. Модель нелинейного (в данном случае — квадратичного) программирования имеет вид F(xu xj, х3) = 0,08х, + O.lxj + 0,13xj - 0,3х2 - 0,45 х22 -

- 0,57х2 - 0,06Х|Х2 - 0,12х,х3 - 0,18x^3 -> шах, х1+х2 + х3 = 1000,

¦Xj J Xj J X3 ^ 0.

Найдем все частные производные второго порядка целевой функции F: F([ = -0,6; F22 = -0,9; F33 = -1,14; F" = -0,06; F{{= -0,12; F2i = -0,18.

Рассчитав значения соответствующих определителей (главных миноров матрицы Хессе), можно убедиться, что выполняются условия (4), откуда следует, что целевая функция строго выпукла для любых значений хь х2, х3 (значения определителей не зависят от значений переменных).

МАХ= 0.08 * XI + 0.1 * Х2 + 0.13 * ХЗ - Rl - R2 •

R1 = 0.3 * XI * XI + 0.45 * Х2 * Х2 + 0.57 * ХЗ * ХЗ ¦

R2 = 0.06 * XI * Х2 + 0.12 * XI * ХЗ + 0.18 * Х2 * ХЗ •

XI + Х2 + ХЗ = 1000 ;

XI > 0 ;

Х2 > 0 ;

ХЗ > 0 ; END

Получаем следующий результат: OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1)-169988.211211\r\nVARIABLE VALUE REDUCED COST\r\nXI 496.808739 0\r\nХ2 305.263160 0\r\nХЗ 197.928101 0\r\nR1 138309.250999 0\r\nR2 31774.961878 0\r\nНепосредственной подстановкой полученного решения в условия (5)—(8) можно убедиться, что условия Куна — Таккера выполняются, причем решение обеспечивает глобальный максимум целевой функции, поскольку F строго вогнута.

Ответы: 1. Да, является (при любых значениях переменных).

2. 496,8 тыс. руб. 3. 197,93 тыс. руб.

Пример 3. Производство молочных продуктов.

Молокозавод производит для местного рынка три вида продуктов: сметану, творог и сыр. Молоко поступает ежедневно из двух ферм. Технологические и экономические данные о производимых продуктах приведены в следующей таблице: \r\nПродукт Коэффициенты выхода продуктов из 1 кг молока Максимальный объем

суточного производства продуктов, кг Цена про-дукта, руб./кг\r\n фермы 1 фермы 2 \r\nСметана 0,1 0,2 75 40\r\nТворог 0,25 0,1 100 30\r\nСыр 0,1 0,08 50 100\r\nЗатраты, связанные с приобретением сырья (молока), являются кусочно-линейной функцией

закупаемого количества: а) для фермы 1

\r\nКоличество, кг у2 = 200 у3 = 300 >4 = 500 у5 = 600\r\nЗатраты, руб. 0 1000 1600 3000 4000\r\nб) для фермы 2 \r\nКоличество, кг м = 0 z2 = 200 = 300 г4 = 600 \r\nЗатраты, руб. 0 800 1400 3800 \r\n