Примеры

Петр Перфилов — управляющий компанией, которая только что заключила контракт на покупку нового оборудования для консервирования овощей. В соответствии с договором компания должна выплатить поставщику в общей сложности 750 тыс.

Проанализировав варианты, Петр решил сосредоточиться на 12 возможных способах вложения денег под проценты. Виды вкладов, их продолжительность, возможные сроки вложения и проценты по\r\nВид вклада Срок вклада, месяцы Возможные моменты вложения (начало месяца)\' Процент по вкладу\r\nА 1 1,2,3,4, 5, 6 1,5%\r\nВ 2 1,3,5 3,5%\r\nС 3 1,4 6,0%\r\nD 6 1 11,0%\r\nДанные о возможностях вложений и возврата денег (в руб.) представлены в следующей таблице

Начало месяца

Вклад

6

>1,015

1,00-

А в месяце 1

>1,015

1,00-

А в месяце 2

1,00-

>1,015

А в месяце 3

>1,015

1,00-

А в месяце 4

1,00-

•1,015

А в месяце 5

1,00-

•1,015

А в месяце 6

1,00-

>1,035

В в месяце I

>1,035

1,00-

В в месяце 3

1,00-

>1,035

В в месяце 5

¦>1,06

1,00-

С в месяце 1

>1,06

1,00-

С в месяце 4

1,00-

>1,11

D в месяце 1

С учетом этих возможностей необходимо минимизировать размер целевого фонда, обеспечивающего

оплату оборудования.

Каков минимальный размер целевого фонда, позволяющий сделать необходимые выплаты?

Какова стоимость в начальный момент времени одного рубля, который надо выплатить в начале седьмого месяца (через шесть месяцев)?

Какова стоимость в начальный момент времени одного рубля, который надо выплатить в начале пятого месяца (через четыре месяца)?

Решение. Введем следующие обозначения: у — размер целевого фонда; АІ — размер вклада вида А в месяце i; Bi — размер вклада вида В в месяце i; СІ — размер вклада вида С в месяце i; Di — размер вклада вида D в месяце i.

Так как в любой момент времени можно сделать вклад на один месяц, хранить деньги на руках невыгодно. С учетом этого условия задача минимизации целевого фонда может быть описана следующей моделью: Целевая функция у ® min при условиях

y-AK-BY-Cx-Dx =0, 1,015^-^2 = 0,

1,015/12 + 1,0355, -А2-В3 = 150, 1,015^з + 1,060С, - А4 - С4 = 0, 1,0154, + 1,0352?3 - А5 - В5 = 0, 1,015Л5-Л6 = 0,

1,015Л6 + 1,03555 + 1,060С4 + 1,110Di = 600.

Эту модель можно представить в следующей, более наглядной форме:

\r\n У А\\ В1 С1 2)1 А2 A3 Ю М С4 AS 55 М \r\nMinimize 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 / \r\nНачало месяца 1 1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0\r\nНачало месяца 2 0 1,015 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 = 0\r\nНачало месяца 3 0 0 1,035 0 0 1,015 -1 -1 0 0 0 0 0 = 150\r\nНачало месяца 4 0 0 0 1,06 0 0 1,015 0 -1 -1 0 0 0 = 0\r\nНачало месяца 5 0 0 0 0 0 0 0 1,035 1,015 0 -1 -1 0 = 0\r\nНачало месяца 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,015 0 -1 = 0\r\nНачало месяца 7 0 0 0 0 1,11 0 0 0 0 1,06 0 1,035 1,015 = 600\r\nПроводя вычисления, получаем следующие результаты:\r\n У А\\ І1 а DI й A3 вз м С4 Л5 Я5 Л6 \r\nMinimize 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \r\nНачало месяца 1 1 -1 -1 -і -1 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 -1\r\nНачио месяца 2 0 1,015 0 0 0 -і 0 0 0 0 0 0 0 = 0 -0,985\r\nНачало месяца 3 0 0 1,035 0 0 1,015 -1 -1 0 0 0 0 0 = 150 -0,966\r\nНачало месяца 4 0 0 0 1,06 0 0 1,015 0 -1 -1 0 0 0 = 0 -0,943\'\r\nНачало месяца 5 0 0 0 0 0 0 0 1,035 1,015 0 -1 -1 0 = 0 -0,929\r\nIf 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,015 0 -1 = 0 -0,916\r\nНачпо месяца? 0 0 0 0 1,11 0 0 •о 0 1,06 0 1,035 1,015 = 600 -0,890\r\nSolution 678,93 0 144,98 533,99 0 0 0 0 0 566,04 0 0 0 678,93 \r\nСледующая таблица содержит границы устойчивости по коэффициентам целевой функции:\r\nVariable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound\r\nУ 678,93 0 1 0 Infinity\r\nА\\ 0 0 0 —4,6E—03 Infinity\r\nВ\\ 144,98 0 0 —4,3E—03 4,6E—03\r\nС1 533,99 0 0 -1 4,3E—03\r\nD\\ 0 1.2Е-02 0 — 1,2E—02 Infinity\r\nА2 0 4,5Е—03 0 —4,5E—03 Infinity\r\n/13 0 8,6Е—03 0 —8,6E—03 Infinity\r\nВЗ 0 4,2Е—03 0 —4,2E—03 Infinity\r\nА4 0 0 0 —8,4E—03 4,2E—03\r\nС4 566,04 0 0 —Infinity 8,5E-03\r\nА5 0 0 0 — 1,2E—02 Infinity\r\nВ5 0 8.3Е-03 0 —8,3E—03 Infinity\r\nА6 0 1,2Е—02 0 -1.2E-02 Infinity\r\nДалее приводятся границы устойчивости по правым частям ограничений: \r\nConstraint Dual Val Slack/Surplus Original Val Lower Bound Upper Bound\r\nНачало месяца 1 -1 0 0 -678,9 Infinity\r\nНачало месяца 2 -0,985 0 0 0 Infinity\r\nНачало месяца 3 -0,966 0 150 0 Infinity\r\nНачало месяца 4 -0,943 0 0 -566,0 Infinity\r\nНачало месяца 5 -0,929 0 0 0 Infinity\r\nНачало месяца 6 -0,916 0 0 0 Infinity\r\nНачало месяца 7 -0,890 0 600 0 Infinity\r\nВ этой модели особый интерес представляет интерпретация двойственных оценок. Например, двойственная оценка последнего ограничения равна —0,89.

Ответы: 1.678,93 тыс. руб. 2.0,89руб. 3.0,929руб.