Примеры
Проект пусконаладки компьютерной системы состоит из восьми работ. В следующей таблице указаны взаимосвязь работ, нормальное время их выполнения и данные, характеризующие возможность сокращения продолжительности работ: \r\nРабота Непосред-ственно предшествующие работы Время выполнения, недели Затраты, руб., при времени выполнения\r\n нормальное хи минимальное нормальном с» минимальном
с;\r\nА — 3 1 900 1700\r\nВ — 6 2 2000 4000\r\nС А 2 1 500 1000\r\nD В, С 5 3 1800 2400\r\nЕ D 4 3 1500 1850\r\nF Е 3 1 3000 3900\r\nG В, С 9 4 8000 9800\r\nН F, G 3 2 1000 2000\r\nОпределите минимальную продолжительность проекта при нормальном времени выполнения работ.
Можно ли уменьшить продолжительность проекта при дополнительных затратах? Вопросы:
Какова продолжительность проекта при нормальном времени выполнения работ?
Сколько работ в этом случае являются критическими?
Каковы затраты на выполнение проекта при нормальном времени выполнения работ?
С какими минимальными дополнительными затратами можно выполнить этот проект за 16 недель? Решение.
Найдем критический путь при нормальном времени выполнения работ. Используем для этогометод СРМ. Вводим в программу POMWIN исходную информацию, описывающую проект в виде последовательности работ:
\r\nРабота Время вы-полнения, недели Предшеству-ющие работы Работа Время вы-полнения, недели Предшеству-ющие работы\r\nА 3 Е 4 D\r\nВ 6 F 3 Е\r\nС 2 А G 9 В, С\r\nD 5 В, С Н 3 F,G\r\nВыполнив расчеты, получаем следующие результаты:
\r\nProject 21 \r\nРабота Время вы-полнения, недели ES EF LS LF R\r\nА 3 0 3 1 4 1\r\nВ 6 0 6 0 6 0\r\nС 2 3 5 4 6 1\r\nD 5 6 11 6 11 0\r\nЕ 4 11 15 11 15 0\r\nF 3 15 18 15 18 0\r\nG 9 6 15 9 18 3\r\nН 3 18 21 18 21 0\r\nОтсюда видно, что при нормальной продолжительности работ длина критического пути составляет 21 неделю.
На критическом пути находятся работы В, D, Е, F, Н. Для того чтобы определить затраты на выполнение проекта при нормальной продолжительности работ, достаточно просуммировать затраты, указанные в пятом столбце таблицы исходных данных. В результате получаем затраты 18 700 руб.Для определения минимальных дополнительных издержек, необходимых для того, чтобы снизить продолжительность проекта до 16 недель, построим модель линейного программирования. Для этого на основании данных о непосредственно предшествующих работах построим графическое представление проекта (рис. 1).
Рис. 1
Используя исходные данные, определяем удельные (в единицу времени) затраты К на сокращение
\r\nРабота Время выполнения, недели Затраты, руб., при времени выполнения Удельные затраты, руб. в не-делю\r\n нормальноеъ минимальное нормальном минимальном \r\nА 3 1 900 1700 400\r\nВ 6 2 2000 4000 500\r\nС 2 1 500 1000 500\r\nD 5 3 1800 2400 300\r\nОкончание таблицы
\r\nРабота Время выполнения, недели Затраты, руб., при времени выполнения Удельные затраты, руб. в не-делю\r\n нормальное хи минимальное
ч нормальном С»\' минимальном
с; \r\nЕ 4 3 1500 1850 350\r\nF 3 і 3000 3900 450\r\nG 9 4 8000 9800 360\r\nН 3 2 1000 2000 1000\r\nИспользуя обозначения xi — время наступления события і, у — величина сокращения времени работы (i,j), получаем следующую модель линейного программирования для определения минимальных издержек, необходимых для сокращения продолжительности проекта с 21 до 16 недель: 400у12 + 500^,3 + 500j>23 + З00у34 + 350у45 + + 450^ + 360у% + 1000^ min\r\nпри условиях \r\nXj > X, + 3 - у12, х3 > X, + 6 \r\nх3 > х2 + 2 - у23, х4 > х3 + 5 ~Ум>\r\nх5 > х4 + 4 - у45, х6 > х5 + 3 -Уз6.\r\nх6>х3 + 9 -Узб> > х6 + 3 -Убт\r\nУп * 2. \r\n ^34^2, \r\nУ45 * 1. ? ІЛ \r\n \r\nXj < 16, \r\n- 0, Уд* \r\nа,л е р. \r\nДля решения этой задачи линейного программирования используем программу POMWIN.
В следующей таблице приведенная выше модель представлена в формате программы POMWIN:\r\n Jfl XI Xi X4 X5 X6 XI У12 из >23 У34 У45 136 J36 Ш \r\nMin 0 0 0 0 0 0 0 400 500 500 300 350 450 360 1000 \r\nCtrl -1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 >= 3\r\nCtr2 -1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 >= 6\r\nCtr3 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 >= 2\r\nCtr4 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 >= 5\r\nCtr5 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 >= 4\r\nCtr6 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 >= 3\r\nCtr 7 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 >= 9\r\nCtr8 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 >= 3\r\nCtr 9 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 <= 2\r\nCtr 10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 <= 4\r\nCtr 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 <= 1\r\nCtr 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 <= 2\r\nCtr 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 <= 1\r\nCtr 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 <= 2\r\nCtr 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 <= 5\r\nCtr 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 <= 1\r\nCtr 17 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 <= 16\r\nВыполнив расчеты, получаем следующие результаты:
\r\nProject 2260 \r\nVariable Value Reduced Cost Original Val Lower Bound Upper Bound\r\nXI 0 810 0 -810 Infinity\r\nXI 3 0 0 -310 90\r\nХІ 5 0 0 -310 90\r\nХ4 8 0 0 -150 90\r\nХ5 11 0 0 -100 90\r\nХ6 13 0 0 -190 810\r\nХ7 16 0 0 —Infinity 810\r\nП2 0 90 400 310 Infinity\r\nт 1 0 500 410 810\r\nY2i 0 190 500 310 Infinity\r\nYi4 2 0 300 —Infinity 450\r\nЇ45 1 0 350 —Infinity 450\r\nY56 1 0 450 350 540\r\nУЗ 6 1 0 360 50 450\r\nУ67 0 190 1000 810 Infinity\r\nИтак, минимальные затраты, необходимые для того, чтобы сократить продолжительность проекта с 21
до 16 недель, составляют 2260 руб. Продолжительность каждой из работ (1, 3), (4, 5), (5, 6) и (3, 6) сокращается на одну неделю.
Продолжительность работы (3, 4) сокращается на две недели. Ответы: 1. 21 неделя. 2. Пять работ. 3. 18 700 руб. 4. 2260 руб. Пример 2. Контроль затрат на выполнение проекта.
Перечень работ проекта, время их выполнения и оценки затрат на выполнение работ отражены в следующей таблице: \r\nРабота Ожидаемое время выполнения, месяцы Непосредственно пред-шествующие работы Сметные затраты, тыс.
руб. Удельные затраты, тыс. руб. в месяц\r\nA 2 — 10 5\r\nВ 3 — 30 10\r\nС 1 А 3 3\r\nD 3 В 6 2\r\nE 2 В 20 10\r\nF 2 С, D 10 5\r\nG 1 Е 8 8\r\nУдельные затраты определены в предположении о том, что затраты производятся равномерно в течение срока выполнения работы.Определите, в каком диапазоне могут меняться фактические затраты на выполнение проекта при условии, что проект будет выполнен за минимальное время.
Вопросы:
За какое минимальное время может быть выполнен проект?
При каком максимальном значении совокупных затрат, сделанных за первые 3 месяца реализации проекта, проект может быть выполнен за минимальное время?
При каком минимальном значении совокупных затрат, сделанных за первые 3 месяца реализации проекта, проект может быть выполнен за минимальное время?
При каком максимальном значении совокупных затрат, сделанных за 6 месяцев реализации проекта, проект может быть выполнен за минимальное время?
При каком минимальном значении совокупных затрат, сделанных за 6 месяцев реализации проекта, проект может быть выполнен за минимальное время?
Решение. Определим минимальное время выполнения проекта. Найдем критический путь, воспользовавшись методом СРМ. Введем в программу POMWIN информацию о предшествующих работах и времени их выполнения: \r\nРабота Время выпол-нения, месяцы Предшеству-ющие работы\r\nА 2 \r\nВ 3 \r\nС 1 А\r\nD 3 В\r\nЕ 2 В\r\nF 2 С, D\r\nG 1 Е\r\nРезультаты расчетов представлены в следующей таблице:
\r\nProject 8 \r\nРабота Время вы-полнения, месяцы ES EF LS LF R\r\nА 2 0 2 3 5 3\r\nВ 3 0 3 0 3 0\r\nС 1 2 3 5 6 3\r\nD 3 3 6 3 6 0\r\nЕ 2 3 5 5 7 2\r\nF 2 6 8 6 8 0\r\nG 1 5 6 7 8 2\r\nОжидаемое время выполнения проекта равно 8 месяцам.
Определим динамику совокупных затрат для графика выполнения проекта с наиболее ранним началом всех работ: \r\nМесяц
Работа 1 2 3 4 5 6 7 8\r\nА 5 5 \r\nВ 10 10 10 \r\nС 3 \r\nD 2 2 2 \r\nЕ 10 10 \r\nF 5 5\r\nG 8 \r\nЗатраты в месяц, тыс.
руб. 15 15 13 12 12 10 5 5\r\nОбщие затраты, тыс. руб. 15 30 43 55 67 77 82 87\r\nОпределим динамику совокупных затрат для графика выполнения проекта с наиболее поздним началом всех работ:\r\nМесяц
Работа 1 2 3 4 5 6 7 8\r\nА 5 5 \r\nВ 10 10 10 \r\nС 3 \r\nD 2 2 2 \r\nЕ ю 10 \r\nF 5 5\r\nG 8\r\nЗатраты в месяц, тыс. руб. 10 10 10 7 7 15 15 13\r\nОбщие затраты, тыс. руб. 10 20 30 37 44 59 74 87\r\noooooooooo Общие затрат тыс. руб.
1
^^ і ы,
1
^ 1 ^^ 1 ^^^^
1
1 1 1 1 Месяцы\r\n1 2 3 4 5 6 7 8
Рис. 2
На рис. 2 показаны два графика. Выше проходит график совокупных затрат при наиболее раннем времени начала работ, ниже — при наиболее позднем времени начала работ. Если фактические затраты на выполнение проекта будут находиться внутри очерченной области, то проект может быть выполнен за 8 месяцев. Если фактические затраты окажутся за пределами очерченной области, то продолжительность проекта увеличится.
Таким образом, менеджер может контролировать фактические затраты по проекту. Если сметные затраты не выполнены или допущен перерасход, необходимо осуществлять корректирующие воздействия, сдвигая время начала отдельных работ и (или) сокращая их продолжительность путем привлечения дополнительных ресурсов.
Ответы: 1. Восемь месяцев. 2. 43 тыс. руб. 3. 30 тыс. руб. 4. 77 тыс. руб. 5. 59 тыс. руб.