Примеры

Сочинский винзавод производит две марки сухого вина: «Черный лекарь» и «Букет роз». Оптовые цены, по которым реализуется готовая продукция, соответственно 68 и 57 руб.

«Букет роз» должно содержать не более 60% красного и не менее 15% белого. Определите рецепты смешения ингредиентов для производства вин «Черный лекарь» и «Букет роз»,

обеспечивающие заводу максимальную прибыль. Вопросы:

Какую максимальную прибыль можно получить за один день?

Сколько литров вина «Черный лекарь» следует производить ежедневно?

Сколько процентов белого вина должен содержать «Черный лекарь»?

Сколько литров вина «Букет роз» следует производить ежедневно?

Сколько процентов розового вина должен содержать «Букет роз»?

На сколько возрастет прибыль винзавода, если поставки красного вина удастся увеличить до 1300 л в день?

На сколько уменьшится прибыль винзавода, если поставки белого вина сократятся до 1800 л? Решение. Пусть xkj — количество j-го ингредиента (j = 1, 2, 3), входящего в k-ю смесь (k = 1, 2).

Например, x23 — количество красного вина, ежедневно используемого для приготовления вина «Букет роз». Тогда модель оптимального смешения имеет следующий вид. Критерий максимизации прибыли:

(68 - 70)х„ + (68 - 50)x12 + (68 - 40)xn + (57 - 70)x2: + + (57 - 50)x22 + (57 - 40)x22 ® max. Ограничения на поставки ингредиентов: хп+х21< 2000, х12 + ^22 < 2500, х,з + *23 < 1200.

Ограничения, отражающие условия на содержание ингредиентов в смеси:

Х„ > 0,6(хи + Х|2 + Х13),

Х,з < 0,2(х„ + Xj2 + Х13),

х23 < 0,6(Х2, + Х22 + Хц),

Xj, > 0,15(Х2, + Х22 + Х23).

Последняя группа ограничений может быть преобразована следующим образом: -0,4х„ + 0,6Х|2 + 0,6х,з < 0, -0,2х„ - 0,2Х12 + 0,8Х|3 5 0, —0,6х21 - 0,6X22 + °>4jc23 ^ -0,85X2, + 0,15х22 + 0,15x23 *

Кроме того, следует учесть ограничения на неотрицательность переменных.

Используя пакет POMWIN, исходную информацию для решения этой задачи можно представить в виде следующей таблицы] \r\n XI \\ XI2 XLL Л21 X22 Л23 \r\nMaximize -2 18 28 -13 7 17 \r\nConstraint 1 1 0 0 1 0 0 <= 2000\r\nConstraint 2 0 1 0 0 1 0 <= 2500\r\nConstraint 3 0 0 1 0 0 1 <= 1200\r\nConstraint 4 -0,4 0,6 0,6 0 0 0 <= 0\r\nConstraint 5 -0,2 -0,2 0,8 0 0 0 <= 0\r\nConstraint 6 0 0 0 -0,6 -0,6 0,4 <= 0\r\nConstraint 7 0 0 0 -0,85 0,15 0,15 <= 0\r\nРешая эту задачу, получаем следующий результат:\r\n All X\\2 *13 XL\\ X22 X23 \r\nMaximize -2 18 28 -13 7 17 \r\nConstraint 1 1 0 0 1 0 0 <= 2000 7,8\r\nConstraint 2 0 1 0 0 1 0 <= 2500 3,3\r\nConstraint 3 0 0 1 0 0 1 <= 1200 13,3\r\nConstraint 4 -0,4 0,6 0,6 0 0 0 <= 0 24,4\r\nConstraint 5 -0,2 -0,2 0,8 0 0 0 <= 0 0\r\nConstraint 6 0 0 0 -0,6 -0,6 0,4 <= 0 0\r\nConstraint 7 0 0 0 -0,85 0,15 0,15 <= 0 24,4\r\nSolution 1526,7 1017,8 0 4733 1482Д 1200 39888,9 \r\nВ следующей таблице содержится дополнительная информация о границах устойчивости решения по правым частям ограничений:

\r\nConstraint Dual Val Slack/Surplus. Original Lower Upper\r\n Val Bound Bound\r\nConstraint 1 7,8 0 2000 652,9 3300\r\nConstraint 2 3,3 0 2500 1633,3 10 133,3\r\nConstraint 3 13,3 0 1200 0 4666,7\r\nConstraint 4 24,4 0 0 -538,8 520,0001\r\nConstraint 5 0 508,9 0 -508,9 Infinity\r\nConstraint 6 0 693,3 0 -693,3 Infinity\r\nConstraint 7 24,4 0 0 -1145 4\r\nТаким образом, максимальная ежедневная прибыль винзавода достигает 39 888,9 руб. При этом производится 1526,7 + 1017,8 = 2544,5 л вина «Черный лекарь» и 473,3 + 1482,2 + 1200 = 3155,5 л вина «Букет роз».

Содержание белого вина в вине «Черный лекарь» составляет 1526,7/2544,5 = 0,6 (60%). Содержание розового вина в вине «Букет роз» составляет 1482,2/3155,5 = 0,47 (47%).

Если поставки красного вина удастся увеличить до 1300 л в день, то с учетом значения двойственной оценки 13,3 ограничения на объем поставок красного вина определяем, что прибыль увеличится на 13,3 • 100 = 1330 руб.

Заметим, что объем поставок остается в границах устойчивости решения. Если поставки белого вина сократятся до 1800 л в день, то с учетом значения двойственной оценки 7,8 ограничения на объем поставок белого вина определяем, что прибыль уменьшится на 7,8 • 200 = 1560 руб. Заметим, что объем поставок белого вина остается в границах устойчивости решения.

Ответы: 1. 39 889,9 руб. 2. 2544,5 л. 3. 60%.

4. 3155,5 л. 5. 47%. 6. На 1330 руб.

7. На 1560 руб.