Модели

Задачи оптимального смешения встречаются во многих отраслях промышленности (металлургия, парфюмерия, пищевая промышленность, фармакология, сельское хозяйство). Примерами задач о смесях могут служить определение кормового рациона скота на животноводческих фермах, составление рецептуры шихты на металлургическом производстве и т.п.

Рассмотрим сначала однопродуктовые модели оптимального смешения.

Введем обозначения:

п — количество исходных ингредиентов;

т — количество компонентов в смеси;

Xj — количество j-го ингредиента, входящего в смесь; а^ —количество i-го компонента в j-м ингредиенте; Cj —стоимость единицы j-го ингредиента; bt — количество i-го компонента в смеси. Модель Л:

%cixJ ~*min\' (1)

tayXjZb;, /= \\,...,m, (2)

Xj> 0, j — 1,n. (3)

Здесь (1) — целевая функция (минимум затрат на получение смеси);

— группа ограничений, определяющих содержание компонентов в смеси;

— ограничения на неотрицательность переменных.

В задаче могут присутствовать также ограничения на общий объем смеси и ограничения на количество используемых ингредиентов. Эти группы ограничений, а также ограничения (2) характерны для задачи планирования производства, рассмотренной в главе 1. Введем обозначения: п — количество исходных ингредиентов; т — количество компонентов в смеси;

w — количество условий, отражающих содержание j-го ингредиента в смеси;

Xj — количество j-го ингредиента, входящего в смесь;

ау — доля j-го компонента в j-м ингредиенте;

bt — минимально допустимая доля i-го компонента в смеси;

Cj — стоимость единицы j-го ингредиента;

dj — коэффициент, отражающий r-е условие на содержание j-го ингредиента в смеси. Модель В: І С: X: min, (4)

j= і J J

E (а,у — b,) Xj > 0, i=l,...,m, (5) tdrix.

y\'= 1 v J

txj= 1, (7)

jc(.>0, j = 1, ..., n. (8)

Здесь (4) — целевая функция (минимум затрат на получение смеси);

— группа ограничений, определяющих содержание компонентов в смеси;

— группа ограничении на содержание ингредиентов в смеси;

— ограничение на количество смеси;

— ограничения на неотрицательность переменных.

Ограничения (5) и (6) отличают задачу смешения от задачи оптимального планирования производства. Заметим, что значения правых частей этих ограничений равны нулю. Вектор х* с компонентами, являющийся решением этой оптимизационной задачи, называют рецептом приготовления смеси или рецептом смешения.

В многопродуктовых задачах ингредиенты используются для приготовления не одной, а нескольких смесей. При этом в качестве переменной хщ, такой задачи рассматривается количество ингредиента j, используемое для приготовления смеси к. Критерий задачи — максимизация прибыли. Введем обозначения: п — количество исходных ингредиентов; т — количество компонентов в смеси;

w — количество условий, отражающих содержание j-го ингредиента в смеси; ^ — количество смесей;

xkj — количество j-го ингредиента, входящего в k-ю смесь;

ау — доля i-го компонента в j-м ингредиенте;

bik — минимально допустимая доля i-го компонента в k-й смеси;

Cj — стоимость единицы j-го ингредиента;

р^k — стоимость единицы k-й смеси;

drkj — коэффициент, отражающий r-е условие на содержание j-го ингредиента в k-й смеси;

Uj — количество имеющегося j-го ингредиента. Модель С:

,!, (Рк - СР xkj -» тах- (9)

І (ау - bik) xkj > 0, / = 1, ..., т\\ к = 1,..., 5, (Ю) Е d^j xkJ >0, г = 1, ..., w; & = 1, ..., 5, (11)

s

I,xkj < Uj, j= 1, ..., n, (12)

xkj> 0, y=l,..., n; k=l,...,s. (13)

Здесь (9) — целевая функция (максимум прибыли);

— группа ограничений, определяющих содержание компонентов в смеси;

— группа ограничений на содержание ингредиентов в смеси;

— ограничения на количество ингредиентов;

— ограничения на неотрицательность переменных.