3.4. Решение типовых задач

Оценить следующую структурную модель на идентификацию:

у = b13 У3 + an x1 + a13 x3;

У2 = b21 У + b23 У3 + a 22 x2;

y3 = b32 y2 + a31 x1 + a33 x3.

Исходя из приведенной формы модели уравнений

у = 2 • x1 + 4 • x2 +10 • x3;

У2 = 3 • x1 - 6 • x2 + 2 • x3;

y3 = -5 • x1 + 8 • x2 + 5 • x3,

найти структурные коэффициенты модели.

1. Исследование модели на идентифицируемость. Модель имеет три эндо-генные (у1, у2, уз) и три экзогенные (xi, x2, х3) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации. Первое уравнение.

Необходимое условие (Н): эндогенных переменных - 2 (у1, у3), отсутствующих экзогенных - 1 (х2).

Выполняется необходимое равенство: 2 = 1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Достаточное условие (Д): в первом уравнении отсутствуют y2 и x2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы\r\nУравнение Отсутствующие переменные\r\n Y2 X2\r\nВторое -1 a22\r\nТретье Ь32 0\r\nОпределитель матрицы DetA = -10 - b32 ¦ a22 Ф 0.

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение.

Н: эндогенных переменных - 3 (yi, y2. y3), отсутствующих экзогенных - 2

(xi, Хз).

Выполняется необходимое равенство: 3 = 2+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: во втором уравнении отсутствуют х1 и хз. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:\r\nУравнение Отсутствующие переменные\r\n Хі Хз\r\nПервое ai 1 ai3\r\nТретье a3i a33\r\nОпределитель матрицы DetA = an ¦ a33 - a31 ¦ a13 Ф 0.

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Аналогично доказывается, что и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.

2.

1) из третьего уравнения приведенной формы выразим х2 (так как его нет в первом уравнении структурной формы)

/з + 5 • Х1 - 5 • x3

Х2 =

8

Данное выражение содержит переменные у3, xj и х3, которые входят в правую часть первое уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим полученное выражение х2 в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ)

у + 5 • x - 5 • x, / = 2 • x + 4 1 3- +10 • x.

J1 1 8 3

Откуда получим первое уравнение СФМ в виде Уі _ 0,5 • /3 + 4,5 • xi + 7,5 • Л3.

во втором уравнении СФМ нет переменных xi и х3. Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа.

Первый этап: выразим xi в данном случае из первого или третьего уравнения ПФМ. Например, из первого уравнения / - 4 • х -10 • xQ

x _- 2 3 _ 0,5 • /і -2 • x2 - 5 • x3.

Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует х3, которого нет в СФМ. Выразим x3 из третьего уравнения ПФМ

x _ /3 - 5 • xi - 8 • x2

x- — .

35 Подставим его в выражение для x1

/3 + 5 • x1 - 8 • x2

x1 _0,5 • /1 - 2 • x2 - 5 5 _0,5 • /1 - /3 +6 • x2 - 5 • x1;

_ 0,5 • /1 - /3 + 6 • x2

x1 _ 6 . Второй этап: аналогично, чтобы выразить х3 через искомые /1, у3 и x?, заменим в выражении x3 значение xi на полученное из первого уравнения ПФМ

_ /3 + 5 • (0,5 • /1 - 2 • x2 - 5 • Л3) - 8 • x2 _

x_ — —

35

_ 0,2 • /3 + 0,5 • /1 - 3,6 • x2 - 5 • x3.

Следовательно,

x3 _ 0,033 • /3 + 0,083 • /1 - 0,6 • x2.

/2 _ 3 • —^ ^ - 6 • x2 + 2 • (0,033 • /3 + 0,083 • /1 - 0,6 • x2).

Подставим полученные xi и x3 во второе уравнение ПФМ 0,5 • /1 -У_3 + 6 • x2 6

В результате получаем второе уравнение СФМ /2 _ 0416 • /1 - 0,434 • /3 - 4,2 • x,.

из второго уравнения ПФМ выразим x2, так как его нет в третьем уравнении СФМ

- у + 3 • x + 2 • x,

x0 _ —^ 1 ъ- _ -0,167 • ^ + 0,5 • x + 0,333 • х.

2 6 1 3

Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ

/3 _ -5 • x1 + 8 • (-0,167 • /2 + 0,5 • x1 + 0,333 • x3) + 5 • x3.

В результате получаем третье уравнение СФМ

y3 = -1,336 • y2 - x1 + 7,664 • x3.

Пример 2. Изучается модель вида / = a1 + b1(C + D) + Є1;

C = a2 + b2 • / + b3 • /-1

где / - валовой национальный доход;

у_1 - валовой национальный доход предшествующего года; С - личное потребление;

D - конечный спрос (помимо личного потребления); єї и Є2- случайные составляющие.

Информация за девять лет о приростах всех показателей дана в табл. 3.1.

Таблица 3.1\r\nГод D /_ї / С Год D /_ї / С\r\n1 -6,8 46,7 3,1 7,4 6 44,7 17,8 37,2 8,6\r\n2 22,4 3,1 22,8 30,4 7 23,1 37,2 35,7 30,0\r\n3 -17,3 22,8 7,8 1,3 8 51,2 35,7 46,6 31,4\r\n4 12,0 7,8 21,4 8,7 9 32,3 46,6 56,0 39,1\r\n5 5,9 21,4 17,8 25,8 I 167,5 239,1 248,4 182,7\r\nДля данной модели была получена система приведенных уравнений / = 8,219 + 0,6688 • D + 0,261 • /-1;

C = 8,636 + 0,3384 • D + 0,202 • /-1.

Требуется:

Провести идентификацию модели.

Рассчитать параметры первого уравнения структурной модели.

Решение:

1. В данной модели две эндогенные переменные (у и С) и две экзогенные переменные (D и у-1). Второе уравнение точно идентифицировано, так как содержит две эндогенные переменные и не содержит одну экзогенную переменную из системы. Иными словами, для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2=1+1.

Первое уравнение сверхидентифицировано, так как в нем на параметры при С и D наложено ограничение: они должны быть равны. В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная у. Переменная С в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не само-

стоятельно, а вместе с переменной D. В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: 1 + 1 = 2: D + 1 > Н. Это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, следовательно, система сверхидентифицирована.

2.

Шаг 1. На основе системы приведенных уравнений по точно идентифицированному второму уравнению определим теоретические значения эндогенной переменной С. Для этого в приведенное уравнение C = 8,636 + 0,3384 • D + 0,202 • y_

подставим значения D и у-ь имеющиеся в условии задачи. Полученные значения обозначим СІ (i = 1,...,9) (табл. 3.2).

Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели заменяем фактические значения С на теоретические С и рассчитываем новую переменную С + D (табл. 3.2).

Таблица 3.2\r\nГод D С С + D Год D С С + D\r\n1 -6,8 15,8 9,0 6 44,7 27,4 72,1\r\n2 22,4 16,8 39,2 7 23,1 24,0 47,1\r\n3 -17,3 7,4 -9,9 8 51,2 33,2 84,4\r\n4 12,0 14,3 26,3 9 32,3 29,0 61,3\r\n5 5,9 15,0 20,9 I 167,5 182,9 350,4\r\nДалее к сверхидентифицированному уравнению применяется метод наименьших квадратов. Обозначим новую переменную С + D через Z. Решаем уравнение

y = а1 + b • Z. С помощью МНК получим a1 = 7,678; b1 = 0,542. Запишем первое уравнение структурной модели y = 7,678 + 0,542 • (С + D).

Пример 3. Рассматривается следующая модель:

Ct = a1 + b11 • Yt + b12 • + u1 (функция потребления); It = a2 + b21 • rt + b22 • It-1 + u2 (функция инвестиций); rt = a3 + b31 • Yt + b32 • Mt-1 + u3 (функция денежного рынка); Yt = Ct + It + Gt (тождество дохода),

где Ct - расходы на потребление в период t; Yt - совокупный доход в период t; It - инвестиции в период t; rt - процентная ставка в период t;

Мх _ денежная масса в период t;

Gt _ государственные расходы в период t;

Ct_1 - расходы на потребление в период t-1;

It-1 _ инвестиции в период t_1; u1, u2, u3 _ случайные ошибки.

Требуется:

В предположении, что имеются временные ряды данных по всем переменным модели, предложить способ оценки ее параметров.

Как изменится ваш ответ на вопрос п. 1, если из модели исключить тождество дохода?

Решение:

1.

Модель включает четыре эндогенные переменные (Сь It Ух, и rt) и четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные _ M и Gt ( и две лаговые эндогенные переменные _ Сх-1 и It_1).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (С и У^ и одну предопределенную переменную (Ct_1). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение:

3 + 1 > 2. Уравнение сверхидентифицировано.

уравнение.

Уравнение II включает две эндогенные переменные (It и rt) и не включает три предопределенные переменные. Как и I уравнение, оно сверхидентифицировано.

уравнение.

Уравнение III тоже включает две эндогенные переменные (Yt, и rt) и не включает три предопределенные переменные. Это уравнение сверхидентифицировано.

уравнение.

Уравнение IV представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели\r\n а Yt Сы it ft It_1 Mt Gt\r\nI уравнение _1 b11 b12 0 0 0 0 0\r\nII уравнение 0 0 0 _1 b21 b22 0 0\r\nШ уравнение 0 b31 0 0 _1 0 b32 0\r\nТождество 1 _1 0 1 0 0 0 1\r\n

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть равен числу эндогенных переменных модели минус 1, т. е. 4-1=3.

I уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

0

0Л

1 ^ b.

21 1

Л-

22

0 1

0 1

b

32 0

0 0

0

Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3х3 этой матрицы не равен нулю

_ 1 b„ 0

21

Ф 0.

0 1

0 _1 10

DetA =

Достаточное условие идентификации для I уравнения выполняется.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение

1 b b

0 0

0

11

12

Л:

b31 0 b32

_ 1

0 0 1,

Ее ранг равен трем, так как имеется квадратная подматрица 3 х 3 этой матрицы, определитель которой не равен нулю.

Достаточное условие идентификации для II уравнения выполняется. III уравнение.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение

0 1

Л

12

0

b22 0 1

00 1

10

1 b 0

0

Ее ранг также равен трем.

Достаточное условие идентификации для III уравнения выполняется. Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицированы. Для оценки параметров каждого из уравнений будем применять двухшаговый МНК.

Шаг 1. Запишем приведенную форму модели в общем виде

C _ Л + Л • Ct-1 + A • It-1 + A • Mt + A • Gt + n;

It _ ? + ? • Cf-1 + ?3 • It-1 + ? • Mt + ? • Gt + V2;

Yt _ D1 + D2 • Ct-1 + D3 • 11-1 + D4 • Mt + D5 • Gt + V3;

rt _ E1 + E2 • Ct-1 + E3 ^ It-1 + E4 ^ Mt + E5 ^ Gt + V4 ,

где V1, V2, V3, V4 _ случайные ошибки.

Определим параметры каждого из приведенных выше уравнений в отдельности обычным МНК. Затем найдем расчетные значения эндогенных переменных Yt, rt используемых в правой части структурной модели, подставляя в каждое уравнение приведенной формы соответствующее значение предопределенных переменных.

Шаг 2. В исходных структурных уравнениях заменим эндогенные переменные, выступающие в качестве факторных признаков, их расчетными значениями

Ct _ a1 + bn • Yt + b12 • Ct-1 + u*

Л _ a + b21 • rt + b00 • If-1 + u

*

где u1 _ u1 + b11 • v1;

*

22

t-1

a3 + b31 • Y + b32 • Mt-1 + u3:

где u* _ u2 + b21 • V2;

*

f

где u3 _ u3 + b31 • v3.

Применяя к каждому из полученных уравнений в отдельности обычный МНК, определим структурные параметры ai, bii, bi2, a2, b2i, b22, a3, b3i, и b32.

2. Если из модели исключить тождество дохода, число предопределенных переменных модели уменьшится на 1 (из модели будет исключена переменная Gt). Число эндогенных переменных модели также снизится на единицу _ переменная Yt станет экзогенной. В правых частях функции потребления и функции денежного рынка будут находиться только предопределенные переменные. Функция инвестиций постулирует зависимость эндогенной переменной It, от эндогенной переменной rt (которая зависит только от предопределенных пере-менных) и предопределенной переменной It_1. Таким образом, мы получим рекурсивную систему. Ее параметры можно оценивать обычным МНК, и нет необходимости исследования системы уравнения на идентификацию.