Логарифмические преобразования

Рассмотрим далее функции вида (4.4), которые являются нелинейными как по параметрам, так и по переменным:

у = ссЛ              (4.4)

Мы обнаружим, что соотношение (4.4) может быть преобразовано в линейное уравнение путем использования логарифмов, безусловно, знакомых вам из курса математики.

1. Если у = xz, то log у = log х + log z-
2. Если у = x/z, то log у = log х — log z-
3. Если у = х”, то log у = п log х.

Эти правила могут применяться вместе для преобразования более сложных выражений. Например, возьмем уравнение (4.4). Если у = ахР, то по правилу 1:

log у = log а + log хР и по правилу 3 = log а + Р log х.

До сих пор мы не определили, по какому основанию берем логарифм — е или 10. В данной работе мы будем использовать в качестве основания число е, т. е. натуральные логарифмы. Теперь это считается стандартом в эконометрике. Некоторые обозначают натуральный логарифм с помощью символа In, а не log, однако в этом уже нет необходимости. Никто больше не использует логарифмы по основанию 10. Таблицы десятичных логарифмов широко использовались для умножения или деления больших чисел до начала 1970-х гг. Однако с изобретением карманных калькуляторов они стали не нужны.

Для натуральных логарифмов справедливо еще одно правило:

4. Если у = ех, то log у = х.

Выражение е*, которое часто записывается как ехр (х), известно также как антилогарифм х.[XII] Можно сказать, что log (е*) является логарифмом антилогарифма х, и так как логарифм и антилогарифм взаимно уничтожаются, неудивительно, что log (е*) превращается просто в х.

Используя приведенные выше правила, уравнение (4.4) можно преобразовать в линейное путем логарифмирования его обеих частей. Если соотношение (4.4) верно, то

log у = log ахР = log а + р log х.              (4.12)

Если обозначить у\'= log у, z~ log х и а\'= log а, то уравнение (4.12) можно переписать в следующем виде:

у’=а\'+Рг.              (4.13)

Процедура оценивания регрессии теперь будет следующей. Сначала вычис-

лим у\'и г для каждого наблюдения путем взятия логарифмов от исходных значений. Вы можете сделать это на компьютере с помощью имеющейся статистической программы. Затем оценим регрессионную зависимость у\'от z¦ Коэффициент при z будет представлять собой непосредственно оценку р. Постоянный член является оценкой а\' т. е. log а. Для получения оценки а необходимо взять антилогарифм, т. е. вычислить ехр (а\').