преобразование Бокса-Кокса
стика, например, добавлять одночлены более высоких степеней в полиномиальную модель.
Рассмотрим, как может помочь изменение функциональной формы в борьбе с гетероскедастичностью. Многие экономические переменные таковы, что размер отклонений, с ними связанных, зависит от величины этих переменных (например, пропорционален), а величина эта в выборке колеблется в широких пределах (изменяется в несколько раз). Возникающая при этом ге- тероскедастичность снижает эффективность оценок параметров. Объяснить потерю эффективности можно следующим образом. В методе наименьших квадратов все наблюдения выступают в одинаковых "весовых категориях", и поэтому в оценках непропорционально мало используется информация от наблюдений с меньшей дисперсией. Тем самым происходит потеря информации. Поэтому, например, нехорошо в регрессию включать временные ряды для номинальных показателей, если в рассматриваемой стране высокая инфляция, или использовать непреобразованную модель в случае выборки стран, в которой есть и большие, и малые страны (США наряду с Исландией). Обычно применяют два вида преобразований. Рассмотрим их на примере функции потребительского спроса кейнсианского типа: C = аI +PX + є, где C — потребление, I — доход, X — символизирует прочие факторы.
Разумно предположить, что среднеквадратическое отклонение ошибки прямо пропорционально I.1) Нормирование. Пронормировать рассматриваемую модель можно, разделив ее на I :
C/I = а+вX/I + є /I.
Можно использовать для нормировки (взвешивания) и переменную, не входящую в модель. Обозначим ее N:
C/N = а+вЩ + є /N.
нормирование равнозначно использованию взвешенного метода наименьших квадратов. Как веса для номинальных величин можно использовать уровень цен, получив тем самым реальные величины. Как веса для стран можно использовать население, получив тем самым среднедушевые показатели (потребление на душу населения и т. п.).
2
Логарифмирование. Прологарифмировав уравнение C = аI + є
при
<< C можно получить следующее линейное приближение: lnC = Ыа+ lnI + є/аІ.
Вряд ли можно привести теоретические возражения и против того, чтобы сразу использовать линейную в логарифмах модель (эта форма модели сокращенно называется логлинейной), например, lnC = а+ Plnl + є.
"Кандидатами" на логарифмирование в первую очередь служат те переменные, которые заведомо могут принимать только положительные значения. Один из их признаков, это то, что, как правило, интересуются относительными приростами таких переменных, а не абсолютными приростами. В экономике это следующие величины: физические объемы благ, цены, стоимостные показатели, различные индексы.
Как итог, перечислим основные функциональные формы регрессионной модели (без учета ошибки) с примерами.
Функциональная форма
Линейная Полиномиальная
Y =
Логлинейная (линейная в логарифмах) Мультипликативная Нормированная
Пример
Y = а0 +а1 X2 +а1 X2 Y = а + ai X + 02 X 2 + аз X 3 + аі Xi + а2 X2 + ац Xi2 + а22 X22 +аі2 X1 X2 lnY = а0 +а1 lnX
Y = а0 Х1аі Х2а Y/N = а0 +аі X/N
Возможны различные комбинации этих форм. Например, часто встречается полулогарифмическая форма:
lnY = а + вХ, или Y = а + plnX, или lnY = а +plnX + YZ.