Моделирование эластичности

Функции вида (4.4) часто встречаются в экономике. Когда вы видите такую функцию, то можете сразу сказать, что эластичность у по х равна р. Например, в разделе 4.1 отмечалось, что это общая форма кривых Энгеля, у представляет собой спрос на товар, х — доход, а Р — эластичность спроса по доходу.

Докажем указанное свойство эластичности. Независимо от математической связи между у их или определения величин у их, эластичность у по х рассчитывается как относительное изменениеу на единицу относительного изменения х:

„              dy              /              у

Эластичность = ¦, gt; .

ах/х

Таким образом, если, например, у — это спрос, ах — доход, то данное выражение определяет эластичность спроса на данный товар по доходу.

Выражение для эластичности можно переписать в следующем виде: (dy/dx)/(y/x). Для примера с функцией спроса его можно представить как отношение предельной склонности к потреблению товара к средней склонности к потреблению данного товара.

Если соотношение между у и х имеет вид (4.4), то

dy / dy py / х „

Эластичность = —-.— = —— = p.

у/х у/х

Таким образом, например, если имеется кривая Энгеля вида

у = 0,0 їх0-30,

то это означает, что эластичность спроса по доходу равна 0,3. Если вы хотите объяснить это кому-нибудь, кто не знаком с экономической терминологией, то наиболее просто будет сказать, что изменение х (дохода) на 1% вызывает изменение у (спроса) на 0,3%.

Функция вида (4.4) может также применяться к кривым спроса, где у — это спрос на товар, х — цена товара, ар — это эластичность спроса по цене. (На практике обычно такая функция спроса объединяется с кривой Энгеля, в результате чего получается зависимость спроса одновременно от дохода и цены. Мы вернемся к этому вопро-

су, когда будем рассматривать модели множественной регрессии в главе 5.)

Что произойдет, если математическая связь между у и хне соответствует уравнению (4.4)? Что можно в этом случае сказать об эластичности? Это можно понять на основе базовых принципов. Предположим, имеется обычное линейное уравнение:

у = а + Рх.

В данном случае dy/dx равно Р; следовательно, эластичность определяется следующим образом:

Эластичность =

dy / dx _ р _ Рх у/х у/х у \'

В этом случае значение эластичности в любой точке будет зависеть не только от значения р, но также и от значений у и х в данной точке.

Таким образом, два основных достоинства математической формы

4. состоят в следующем:

1. Если эластичность у по х постоянна, то это единственная математическая форма, которая обладает данным свойством. Это, безусловно, означает, что если вы считаете, что эластичность не постоянна, то данное соотношение не следует моделировать с помощью уравнения (4.4).
2. Вы можете получить прямую регрессионную оценку эластичности путем оценивания зависимости logy от logx. Эта оценка, конечно, будет достоверна только в том случае, если зависимость определяется уравнением (4.4). Если зависимость линейна, то правильная процедура будет состоять в оценивании линейной регрессии между у и х и последующем вычислении Рх/у.

Показательные функции

(4.14)

Наиболее общим их приложением является случай, когда предполагается, что переменная у имеет постоянный темп прироста во времени, в этом случае вместо х обычно используется время (/), а вместо Р — постоянный темп прироста

Показательные (или экспоненциальные) функции — это функции вида: