Моделирование экспоненциальных временных трендов

Если зависимость у от t задана уравнением вида (4.15), то абсолютный прирост у за единицу времени (dy/dt), определяется как

dy rt

— = те = гу. dt

Следовательно, относительный прирост у за единицу времени можно записать как

dyj_dt_ =ry_ = r У У

Следует помнить, что оценка г, которую вы получаете при оценивании регрессии (4.17), представляет собой оценку темпа прироста в абсолютном выражении.

Если имеются значения у для нескольких временных периодов (1, ..., Т), то параметры а и г можно оценить, если прологарифмировать (по основанию е) обе части уравнения (4.15):

log у = log а + log (е") = log а + rt.              (4.16)

Заметим, что log (е") — это просто rt; следовательно, мы просто берем логарифм антилогарифма rt. Если определить у\' = log у и а\' = log а, то из соотношения (4.16) получим:

у\'= а\'+ rt.              (4.17)

Таким образом, оценивая регрессию между логарифмом у и /, мы непосредственно получаем оценку темпа прироста г. Обычно оценка а имеет второстепенное значение, но если она представляет для вас интерес, то можно получить ее, потенцируя оценку а\' (т. е. беря ее антилогарифм).

Пример

Кривая Энгеля была построена для расходов на питание в США за период с 1959 по 1983 г. с использованием тех же данных, что и в уравнении (2.42), однако вместо линейной функции в данном случае использовалась нелинейная (4.4), приведенная к линейному виду, как в соотношении (4.12), путем взятия логарифмов. Преобразованное выражение имело вид:

Если уравнение (4.4) представляет собой правильную формулу зависимости (в действительности, это, безусловно, сильно упрощено), то полученный результат предполагает, что эластичность спроса на продукты питания по доходу составляет 0,55, что означает, что увеличение личного располагаемого дохода на 1% приведет к увеличению расходов на питание на 0,55%.

Те же данные о расходах на питание были использованы для оценивания экспоненциального временного тренда типа (4.15), также приведенного к линейному виду путем взятия логарифмов [см. уравнение (4.16)]. Оцененная зависимость имеет вид:

log у = 4,58+ 0,020/.              (4.20)

Выполнив обратные преобразования, получим:

р = jASSeO.IHO; = 97э5 еО.020;.              (4.21)

Уравнение показывает, что расходы на продукты питания в течение выборочного периода росли с темпом 2% в год. В этом случае постоянный множитель имеет толкование, так как он «прогнозирует», что в момент /=0, т. е. в 1958 г. общие расходы на питание составили 97,5 млрд. долл. Такой прогноз, безусловно, не имеет важного значения, так как мы легко можем найти в справочниках действительные расходы на питание в 1958 г.

Упражнения

1. Данные о расходах на оплату жилья в упражнении 2.2 были связаны (1) с располагаемым личным доходом и (2) с экспоненциальным временным трендом в соответствии с моделями (4.4) и (4.15), что дало следующие результаты:

logy = —3,48 + 1,230 logx;

log у = 4,08+ 0,045/.

Дайте интерпретацию этих двух уравнений.

2. Оцените аналогичные регрессии для товара, выбранного вами в упражнении 2.4, и дайте интерпретацию полученных коэффициентов.
3. Выведите выражение для эластичности спроса по доходу для кривой Энгеля, используя (4.3) в качестве модели, и покажите, что при отрицательном р эта эластичность уменьшается с увеличением х. Считаете ли вы, что такая ситуация может быть реальной? Если да, то для какого вида товара возможна такая функциональная форма?

До сих пор ничего не было сказано о том, как осуществленные преобразования влияют на случайный член. В приведенных выше рассуждениях все это вышло за рамки рассмотрения.

Основное требование здесь состоит в том, чтобы случайный член в преобразованном уравнении присутствовал в виде слагаемого (+и) и удовлетворял условиям Гаусса—Маркова. В противном случае коэффициенты регрессии, полученные по методу наименьших квадратов, не будут обладать обычными свойствами и проводимые для них тесты окажутся недостоверными.

Например, желательно, если мы учитываем случайное воздействие, чтобы уравнение (4.7) имело следующий вид:

у = а + рг + и.              (4.22)

Если это так, то исходное (т. е. непреобразованное) уравнение (4.3) будет иметь вид:

у = а + ^ + и.              (4.23)

В данном конкретном случае, если в исходном уравнении случайный член является аддитивным и условия Гаусса—Маркова выполнены, то это также будет верно для преобразованного уравнения. В этом случае проблем нет.

Что произойдет, если мы используем модель вида (4.4)? Регрессионная модель после приведения к линейному виду путем логарифмирования будет представлять собой уравнение (4.13), и оно должно будет также включать случайный член возмущения, который является аддитивным и удовлетворяет условиям Гаусса—Маркова:

gt;\'=а\'+Рг + м.              (4.24)

Если вернуться к исходному уравнению, это означает, что формулу (4.4) следует переписать в следующем виде:

у = аЛ,              (4.25)

где v и и связаны соотношением log v = и. Следует помнить, что мы приводим уравнение (4.25) к линейному виду путем логарифмирования его обеих частей. В этом случае мы получаем соотношение:

logy = log а + piogx+ log v,              (4.26)

которое представляет собой уравнение (4.24) с соответствующими изменениями определений.

Следовательно, для получения аддитивного случайного члена в уравнении регрессии мы должны начать с мультипликативного случайного члена в исходном уравнении.

Случайный член v изменяет выражение ооР путем увеличения или уменьшения его в случайной пропорции, а не на случайную величину. Заметим, что и = 0, если log v = 0, что происходит при v = 1.

Для того чтобы были применимы t- и F-критерии, величина и должна иметь нормальное распределение. Это означает, что log v должен иметь нормальное распределение, что возможно только при логарифмически нормальном распределении V. Что произошло бы, если предположить, что случайный член в исходном уравнении является аддитивным, а не мультипликативным?

у = а*Р + и.              (4.27)

Ответ таков, что, когда вы берете логарифм, невозможно математическим путем упростить выражение log (ахР + и). Наше преобразование не ведет к линеаризации. В этом случае следует использовать метод оценивания нелинейной регрессии, например метод, рассмотренный в разделе 4.5.

Упражнения

4. Логарифмические регрессии между (1) расходами на продукты питания или (2) на оплату жилья и личным располагаемым доходом имели следующий вид (в скобках приведены среднеквадратичные ошибки):

log у = 1,20 + 0,55 log х; Л2 = 0,98;              (1)

(0,11) (0,02)

log у = -3,48 + 1,23 log х; R2 = 0,99.              (2)

(0,16) (0,02)

Выполните соответствующие статистические тесты и определите 95-процентный доверительный интервал для эластичности по доходу в каждом случае.

5. Выполните соответствующие статистические тесты для логарифмической кривой Энгеля, построенной вами в упражнении 4.2. Определите 95-процентный доверительный интервал для эластичности по доходу.