Логарифмическая функция полезности

и(г) = 1о&,г. (35)

Известно, что функция полезности задается с точностью до монотонно неубывающего преобразования. Поэтому выбор основания а у логарифма (35) принципиального значения не имеет и определяется удобством:

1оц;,Г - И\\Ц,|Ь X ккьг.

Впервые шкая полезность была рассмотрена Д. Бернулли в связи с так называемым Петербургским парадоксом, изложенным в его статье для Императорской академии наук в Петербурге в 1738 г. Его рассуждения основывались на гипотезе о том, что полезность бесконечно малого выигрыша ёх пропорциональна этому выигрышу и обратно пропорциональна денежной сумме, которой игрок обладает:

<Ш = 1Дх + с!х) - 1Дх) = —. (36)

X

Следовательно, при выборе надлежащих единиц числовой полезности можно считать, что К = 1 и прирост полезности от обладания суммой х2 по сравнению с Х|, таким образом, равен:

Г—= 1г>—.

{ * х,

Превышение Д|2 полезности Д| от выигрыша конечной суммы Г) по сравнению с антиполезностью -Аз потери той же суммы есть разность Д( - Д2 (см. рис. 24). \r\n

\r\nВведем случайную величину X« как (положительный или отрицатель-ный) выигрыш при К.-ом повторении игры. Тогда сумма Бп = Х| + ... + хп является суммарным выигрышем при п повторениях игры, а (Б,, - пр) - общий чистый выигрыш. Пусть для определенности игра проводится машиной, при опускании в которую игроком взноса ц включается вероятностный механизм выигрыша Хк-

Если случайная величина Хк имеет конечное математическое ожидание т = Е(Хк), то согласно закону больших чисел среднее значение из п выиг- \r\n

рышей оказывается близким к m и весьма правдоподобно, что при больших и разность (s _ пт) = n J\'^JL _ окажется малой по сравнению с п.

\\ П /

Следовательно, если (А < ш, то при больших п игрок будет, вероятно,

иметь выигрыш g - Пц = п - [Л I п0РяДКа n(n1 " И-)-

" Inj

\\ ¦¦ )

Понятно, что n(m - ц) > 0.

В общем случае оговаривается существование не только Е(Х«), но и дисперсии U(X«), и закон больших чисел дополняется центральной пре-дельной теоремой (в курсе теории вероятностей). Последняя говорит о том, что весьма правдоподобно, что при ц = m чистый выигрыш Sn - пр будет иметь величину порядка и что при достаточно больших п этот выигрыш будет с примерно равными шансами положительным или отрицательным, то есть игра становится безобидной.

В отличие от представленной схемы для Петербургской игры платеж Е(ХК) равен бесконечности, и, следовательно, к ней нельзя применять закон больших чисел. Иначе говоря, при назначенном взносе ц невозможно выяснить, будет ли она дня играющего благоприятной, убыючной или безобидной, и это несмотря на то, что ожидаемый выигрыш сулит бесконечность.

Тем не менее этот парадокс можно разрешить, вводя функцию полезности (35), то есть предполагая, что отношение игрока к деньгам описывается гипотезой (36). Покажем, как это делается.

Начнем с того, что познакомим читателя с самой игрой. В ней участвуют двое. Петр собирает взносы и реализует механизм случайного выигрыша по партиям: бросает монету раз за разом, пока она не выпадет "орлом". Он обязуется платить Павлу 2 дуката, если "орел" выпадет при пер-вом бросании, 4 дуката - если при втором, 8 - если при третьем и т. д., так что каждый неудачный для него бросок удваивает величину платежа. Предположим, что мы хотим определить ожидаемый результат Павла.

Испытание (партия) Петербургской игры состоит в бросании пра-вильной монеты до тех пор, пока не выпадет "орел". Если это случится на г-ом бросании, то игрок получает 2Г дукатов. Другими словами, "пар-тийный" выигрыш представляет собой случайную величину, принимающую значения 21, 22, 23,... с вероятностями 2"1, 2"2, 2"3,... соответственно.

Математическое ожидание формально определяется суммой

X

2

xrf(xr), в которой хг=2г и f(x,)=2"r, так что каждое слагаемое равно единице.

Разумеется, что здесь х, - г-е значение случайной величины х незави-симо от номера партии. Таким образом, конечного математического ожидания не существует и закон больших чисел "не работает".

Между тем от парадокса бесконечности вполне возможно уйти, если оценивать результат не в деньгах, а в единицах полезности. При таком подходе "истинная ценность" выигрыша измеряется его ожидаемой полезностью:

Е(и(х))-|и(хг)Г(хг), (37)

г-1

где согласно (35) и(хг) = 1о§2хг, а значение х, — 2\' принимается с вероятностью Дхг) = 2"г. Подставляя эти обозначения в (37), получим, что:

Е(и(х))-|^. (38)

г а 1

Пусть а = —. тогда Нш—1— = — <1, то есть выполняется признак

г 2\' аг 2

сходимости бесконечного ряда {а,.}. Отсюда вытекает, что ожидаемая полезность (38), равная сумме и* этого ряда, будет конечной: Е(и(х)) = II*.

Павел оценивает свой взнос ц в единицах полезности и потому его чистый результат определяется разностью (Б,, - п1о?2ц), где 8П = и(х|) +

... + и(х„) и при больших п у *

п

Короче, случай 1о§2ц < и* (ц < 2и*) благоприятен для Павла, а случай \'°82Ц > и* (ц > 2и*) неблагоприятен; при ц = 2и* получим безобидную Петербургскую игру при шансах 50 на 50% с чистым выигрышем или проигрышем порядка д/п.

В данном примере переход от риск-нейтрального отношения (и(х) = = х - полезность денег совпадает с их количеством) к осторожности <и<х) = 1о§2х) позволил получить ответы на все поставленные вопросы.

Известны и другие приемы разрешения Петербургского парадокса. Из них наиболее близкий к изложенному здесь основан на введении пере-менного взноса ц = 1ов2п и видоизмененной записи закона больших чисел. Переменный взнос неудобен в игорном доме; однако Петербургская игра и без того неосуществима вследствие ограниченности имеющихся денежных средств.

Несмотря на игровой характер, этот пример имеет прямое отношение к современной финансовой теории, поскольку в нем выясняется, сколько следует платить за обладание рисковым активом, причем с учетом индивидуального отношения к риску. То же самое можно сказать и о концепции полезности и ее возможностях для анализа эффективности и отбора инвестиционных проектов е рисковыми условиями реализации.

Ступенчатая функция полезности дохода Инвестор с начальным капиталом XV получает случайный доход Я. За меру риска его деятельности можно принять вероятность разорения. Тогда вероятность противоположного события (неразорения) является, как легко уяснить, математическим ожиданием полезности в виде следующей ступенчатой функции случайной величины (рис. 25):

П йг.ПИ Я + \\У г О

11Q\\

U(R) =

О, если R + W < 0.

U(R)

(0;1)\'

(0.0)

Рис. 25. Функция полезности в задаче о разорении

В самом деле, по определению математического ожидания

E(U(R)) = JU(R)f(R)dR,

где f(R) - плотность распределения вероятностей случайного дохода R.

Для ступенчатой функции полезности (39) эта характеристика равна: «

E(U(R)) = Jf(R)dR = P(R г -W) = P(R + W :> 0),

то есть определяет вероятность того, что полученный доход будет не меньше -W, иначе говоря, начального капитала W хватит, чтобы покрыть убытки (Wi - R).

Таким образом, стремление инвестора к максимизации ожидаемой полезности (39) побуждает его к поиску таких решений, которые дают максимум вероятности неразорения.

Для прикладного использования функции полезности (39), например, при диагностировании финансовой устойчивости, приходится получать выражение случайного дохода R в зависимости от влияющих факторов (например, для банка - процентного дохода в зависимости от объемов и структуры пассивов и активов) и сравнивать его с собственным капиталом W.

3.9. Функция полезности карты кривых безразличия

Вначале дадим несколько предварительных соображений. Естественно считать, что при выборе из доступных альтернатив инвестор сравнивает их между собой, руководствуясь ожидаемым доходом и риском Не склонный к риску финансист заведомо ошраковываег невыгодные по данным показателям варианты.

Например, предоставлена возможность выбора между вложениями, в два вида ценных бумаг, причем Ш| ^ т2, а 5 п2. Любой разумный инвестор, конечно, вложи г деньги в 1-й вид. Если, напротив, 1111 5 1112, а а| > а2, то инвестор выберет 2-й вид, поскольку с ним связана меньшая неопределенность, а по доходности он не уступает.

Но в общем случае, когда:

ГП| < ГГ12, 0| < 02

(или Ш| > Ш2, 0| > о2), однозначного разумного решения нет. Инвестор может предпочесть вариант с большим ожидаемым доходом, связанным, однако, с большим риском, либо вариант с меньшим ожидаемым доходом, но более гарантированным и менее рискованным. Сказанное огралтм следующей диаграммой (рис. 26).

Риск (б)

Рис. 26. Выбор варианта

Доходность

(Ш)

Установленные выше параметры сравнения по доходности и риску позволяют нанести на график-схему

рис. 26

Типь! кривых безразличия в зависимости от отношения к риску

Выбор, который делает инвестор, во многом зависит от свойств его характера; от его склонности к риску; от того, сколькими порциями дохода он готов пожертвовав ради упрочения надежности в его получении и каков для него эффект замещения рисков доходами.

Эти рассуждения подразумевают наличие у инвестора некоторой функции U(о, т), с помощью которой он может анализировать варианты, причем предпочтение отдается варианту с большим значением этой функции. При существовании такой зависимости эквивалентные варианты будут определяться из уравнения:

U(о, т) = С.

ЭТО уравнение неявным образом задает о как функцию ш при фиксированной правой части С.

Можно сказать, что полезность кривой безразличия для инвестора тем выше, чем больше уровень С. Этим и объясняется название рассмат-риваемой зависимости U(o, ш) как функции полезности карты кривых безразличия, или, кратко, уровневой функции полезности.

Как и для функции полезности дохода (рис. 19), строение типовых уровневых кривых полезности зависит от "темперамента" субъекта. На рис. 27 изображены карты типовых кривых безразличия для нерасположенных (а), равнодушных (б) и склонных к риску (в). \r\n

вой безразличия, сохраняет уровень полезности своих вложений, компенсируя более высокий риск приростом ожидаемого дохода, и по мере восхождения требует на каждую дополнительную единицу риска все большей компенсации.

Субъект (в) по натуре - "безрассудный" игрок и ради риска готов "карабкаться" по кривой безразличия вверх вопреки потерям ожидаемого дохода.

Пример модели промежуточного поведения показывает инвестор (б):

он безразличен к неопределенности а и для него, чем крупнее ожидаемый выигрыш т, тем будет лучше, вне зависимости от сопровождающих этот выигрыш рисков.

При фиксированном доходе т и снижающемся риске полезность инвестиций у (а) растет, для (в) - падает, а в случае (б) - не меняется (рис. 27).

Уровневая функция полезности, выводимая из полезности