Выведение кривых безразличия из полезности Н-М

цию полезности по Нейману-Моргенштерну, описанную картой кривых безразличия, и если U(R) представляет функцию полезности Н-М, тогда обе эти функции должны быть однозначно связаны друг с другом: U* (ц, а) = = /[[/(/?)]. Для доказательства того, что они действи-тельно так взаимосвязаны, рассмотрим следующую проблему. Возьмем два разных портфеля, из которых при одинаковой ожидаемой величине отдачи один не связан с риском (ожидаемый доход основывается на полной определенности), а другой связан с риском. Мы убедимся, что результат, достигаемый применением функции полезности Н-М, тот же, что и достигаемый применением функции полезности карты кривых безразличия (при том, что функция полезности Н-М совпадает с изображенной на рис. 11.5, а кривые безразличия представлены на рис. 11.1).

Рассмотрим портфели (G}, Lj), (Gk, Lk). Допустим, что первый-это портфель, связанный с риском, ожидаемой отдачей Gj — 4, Lj = —4 и со значениями вероятности PGj = PL, = 0,5, тогда как второй портфель с риском не связан (PGk = Р,к =1), но вместе с тем не сулит никакой отдачи (Gk = 4 = 0), т. е. второй портфель содержит только деньги. Из рис. 11.5 ясно, что хотя ожидаемые величины отдачи от этих портфелей равны, ожидаемая величина полезности второго портфеля (Gk, Ц) больше ( = 0), чем ожидаемая величина полезности первого портфеля (= —1,6).

применение анализа кривых безразличия. Оба портфеля обещают одинаковую ожидаемую величину отдачи = = цк = 0), но стандартное отклонение распределения возможных отдач от портфеля (G,, LJ) больше, чем от портфеля (Gk 4); (cfj — 4, ск — 0). Комбинации ожидаемой величины и стандартного отклонения доходов от порт-фелей (Gj Lj) и (Gk, L,,) представлены на рис. 11.6 точками

J и К соответственно. Как мы видим, кривая безразличия, на которой находится К, расположена дальше вправо, чем кривая безразличия, на которой находится J, т.е. К представляет большую величину U*([i, ст), а поэтому предпочтение будет отдано не портфелю, связанному с риском, а портфелю (Gk, 4)-

Следовательно, максимизация ожидаемой величины функции полезности Н-М-{/(7?)-дает тот же результат, что и максимизация функции полезности карты кривых безразличия -[/*(ц, ст). Можно показать, что эти две модели дают тот же результат, когда мы решаем вопрос выборе между любыми двумя портфелями (или из любого их набора), и таким образом очевидно, что обе функции полезности однозначно связаны друг с другом. В действительности эта связь U*(\\i, a) =f[_U (7?)] представляет собой явно специфическую форму U* (ц, а) = = ?[[/(./?)]. Иными словами, использованные в гл. 10 кривые безразличия можно рассматривать либо как траекторию постоянной полезности, где полезность равна U* (|i, а), либо как траекторию постоянной ожидаемой величины полезности Н-М.

Можно привести и более строгое доказательство того, что изображенные на рис. 11.1 кривые безразличия выве- дены из функции полезности фон Неймана-Моргенштерна, показанной на рис. 11.5. Постулируемая нами функция полезности фон Неймана-Моргенштерна представляется в виде квадратного уравнения:

U — aR + bR2 (b> 0) (11.1)

где (У-это полезность фон Неймана-Моргенштерна, а правило, которым руководствуется агент, принимая решение, заключается в масимизации его ожидаемой величины, E{U).

Прежде всего мы можем показать, что лицо, придерживающееся этого правила принятия решения, интере-суют лишь средняя (ц) и стандартное отклонение (о) распределения вероятностей доходов от портфеля.

E{U) = aE{R) + bE(R2) (11.2)

Между тем ?¦(/?)-это средняя распределения R, т.е. ц. Более того, E{R2) можно развернуть, добавляя и вычитая ц. Поэтому уравнение 11.2 можно записать в следующем виде:

E(U) = ар + bE{[(R - р) + р]2} (11.3)

Возведя в квадрат член уравнения в квадратных скобках, получаем:

E(U) = ар + bE{(R - р)2 + 2р(Л - ц) + р2)} (11.4)

Теперь вспомним, что ожидаемая величина переменной л:-это средняя распределения вероятностей или, иными словами:

Е(х) =

где Р\'- это порядковые номера вероятностей. Используя это определение, можно упростить уравнение 11.4:

E(U) = ар + bYP\'(R\' - р)2 + Ир У P\'(R\' - р) + Ьц2

(11.5)

Произведем дальнейшие упрощения. Член уравнения — р)2-это тоже, что отклонение распределения вероятностей или его возведенное в квадрат стандартное отклонение: ст2. Член уравнения YP (Rl — р) равен нулю, так как = р и 2^Р\'\\х — р. Поэтому уравнение 11.5

можно окончательно записать гак:

?([/) = ар + Ьа2 + V (11.6)

Мы, следовательно, показали, что в случае, когда функция фон Неймана-Моргенштерна квадратична, любая данная ожидаемая величина полезности выступает как функция лишь двух величин-средней, ц, и стандартного отклонения. Поэтому, если использванные нами кривые безразличия представляют постоянные уровни ожидаемой полезности фон Неймана-Моргенштерна, то их уранЬние выглядит так:

константа = ац + ba + by2 (11.7)

Теперь можно показать, что такие кривые безразличия принимают форму, изображенную на рис. 11.5, если они выведены из квадратичной функции полезности фон Неймана-Моргенштерна. Наклон кривых безразличия в данном изображении положителен, положительны также кривые безразличия, представленные уравнением 11.7. Полностью дифференцируем уравнение, чтобы получить:

О = дф + Ibada + 2b\\id\\x (11.8)

и после преобразования получим

(11.9)

da а + 26ц

Числитель в правой части положителен, поскольку принимается, что b отрицательно х. Знаменатель положи-телен, так как а + 2Ьц-это предельная полезность отдач, которые мы принимаем как положительные; лицо, у которого общая полезность, находящаяся в его распоряжении, сокращается в результате предельного увеличения отдач, выглядело бы по меньшей мере странно2. Поэтому наклон кривой d\\i/da положителен - кривые безразличия направлены вверх и вправо, как это изображено на рис. 11.1.

Более того, представленные в уравнении 11.7 кривые безразличия вогнуты снизу, как и те, которые показаны на рис. 11.6. Иными словами, если мы дифференцируем уравнение 11.9 по отношению к ст, вторая производная cr\\i/da2 имеет положительное значение в соответствии с той же логикой, какой мы следовали при доказательстве того, что первая производная положительна.