11.3. ТЕОРИЯ ПОЛЕЗНОСТИ И АНАЛИЗ ПОРТФЕЛЯ

Чтобы понять связь между теорией полезности и портфельным анализом, вспомним изложенный в гл. 10 тезис о том, что любой портфель (сочетание денег и облигаций) рассматривается инвестором как сулящий некий доход, и, хотя владелец портфеля не уверен в том, какой именно результат принесет с собой всякий порт-фель, в каждом случае он учитывает вероятность всех возможных исходов. На какой-то момент упростим наш анализ, рассматривая лишь такие портфели, от которых ожидаюіся два возможных результата- прибыль G и убыток Z, причем на каждый имеется вероятность Ра, PL. Теория полезности Н-М утверждает, что можно построить функцию полезности таким образом, что каждому предполагаемому размеру дохода вроде G и Z можно присвоить некий порядковый номер полезности (utility number). Обозначим в виде R все приращения (или сокращения) богатства G и Z. Тогда общая функция полезности Н-М получит такой вид:

U(R)=f(R).

Важно отметить, что U(R)=f(R) может быть любой формы, но, чтобы получить из этой функции полезности кривые безразличия, приведенные на рис.

U(R) =f(R) = aR + bR2(b> 0)

Эт а функция полезности показана на рис. 11.4.

Чтобы показать связь между функцией полезности и кривыми безразличия, необходимо привести теорему

Неймана-Моргепштерна. Если функция полезности конструируется по способу, определенному фон Нейманом и Моргенштерном, и если люди ведут себя «последовательно» (согласно выведенной Н-М аксиомой последовательности), то данное лицо будет поступать іаким образом, чтобы максимизировать ожидаемое значение полезности. Конкретно предположим, что человеку предлагают ряд

ч7

портфелей, из которых ему следует выбирать только один:

(СЛ), (G2L2\\ ..., (Gj Lj), ..., (G„ZN)

Теорема утверждает, что лицо выберет портфель с наибольшей отдачей ожидаемой величины полезности. Эта ожидаемая величина полезности отдачи портфеля выра-\' жается следующим уравнением:

ElU(Gj L;}-] = PgjU(Gj) + PL j U (Lj)

Чтобы не смешивать понятия, заметим, что приведенное уравнение явно отличается от ожидаемой величины отдачи:

El(Gj, Lj)] = PGj(Gj) + PLj(Lj) а также от полезности ожидаемой величины отдачи: U(E[(Gj, Ц)] = U[PGj (Gj) + РЬІ(Ц)]

Разігаца между ожидаемой величиной полезности (критерий Н-М) и полезностью ожидаемой величины отдачи существенна. Лишь первый показатель подходит для примененного в гл. 10 анализа кривой безразличия. Различие между этими двумя понятиями показано на рис. 11.5. Допустим, что ожидания индивида относительно портфеля j предполагают вероятности PGj = Ри = 0,5, а прибыли и убытки ожидаются в значениях G — 4 и L= —G— —4.

Рассмотрим полезность ожидаемой величины отдачи от этого портфеля. Ожидаемая величина отдачи:

? [Я] = El(Gp Lj)] = (0,5) (4) + (0,5) (-4) = 0

Полезность этой ожидаемой величины (если подлинная функция полезности совпадает с той, которая изображена на рис. 11.5) равна:

U(EIR]) = U(E\\_(Gj, Lj)]) = U(О) - 0

Теперь рассмотрим другое понятие, а именно ожидаемую величину полезности отдачи. Полезность отдачи равна:

U(Gj}=U(4) и U [(Lj) = U(—4)

ті

или, как на рисунке,

= 3,2 =-6,4

Отсюда ожидаемая величина полезности отдачи: ElU(Gj, L;)] = (0,5) (3,2) + (0,5) (-6,4) = - 1,6

Из этого примера видно, что полезность ожидаемой величины отдачи от портфеля и ожидаемая величина полезности отдачи от него представляют различные понятия и по-разному характеризуют функцию полезности. Второе понятие подходит для анализа полезности Н-М и для нашего портфельного анализа; оптимальным критерием для инвестора должен служить «выбор портфеля с наивысшей ожидаемой величиной полезности отдачи».

Гг)