Неймана-Монгенштерна

Рассмотрим квадратичную функцию полезности, отличающуюся от функции (34) наличием свободного члена, и возьмем его таким, что: и(Я) = аЯ + Ь(Я - Е(Я))2, (Ь < 0). (40)

Запись функции полезности Неймана-Монгеншгерна (ФП Н.-М.) в форме (40) более наглядна, нежели в функции (34): инвестор считает полезным для себя увеличить доход Я, но избегает при этом его отклонений от прогнозного значения Е(Я).

чайностью, таким образом, * ассоциируется с показателем склонности

|Ь|

к риску. Переходя в функции (40) к ожидаемой полезности, получим уровневую ФП Н.-М.:

и(ш, о) = аш + Ьо2, (41)

где т = Е(Я), о2 = Е(Я - Е(Я))2, и(т, о) = Е(и(Я)).

Можно сказать, что как критерий максимизации выражение (41) представляет свертку двух критериев: максимума ожидаемого дохода ш и минимума риска о2.

Подчеркнем, что функция полезности карты кривых безразличия (41) и функция полезности дохода (40) однозначно связаны друг с другом. Отсюда понятно, что решения инвестиционных задач, полученные по любой из этих функций, должны совпасть, а кривые безразличия можно рассматривать либо как траекторию постоянной полезности и(ш, о), либо как траекторию постоянной ожидаемой величины полезности Н.-М. Е[и(х)].

Пример. Используя данные примера из п. 3.8, убедимся, что ФП (41) приводит к тому же результату, что и ФП (34). В нашем случае:

U(m, о) = E(U(R)) = 1,2E(R) - 0,1 E(R)2.

Отсюда, применяя известную формулу o2(R) =: E(R2) - E2(R), получим

і ; / —: ~ Л і 7 ґ\\ 1 ї / * \\

ІДіп, и; — І,Zill - и, і Iii- - и, і О".

Сравним значения этой функции, используя характеристики первого и второго портфелей (тот же пример). Эти портфели сулят нулевые ожидаемые доходы (in| = m? = 0), и поскольку второй портфель безрисковый, то от2 = 0. Дисперсию дохода для первого (рискового) портфеля сосчитаем, воспользовавшись его рядом распределения:

о,2=0,5(- 4)2+0,5 х (4)2 = 16.

Вычислим уровневые полезности каждого портфеля:

U, = U(m = 0, о, = 4) = - 0,1 х 42= - 1,6; U2= U(m = 0, о2= 0) = 0.

U2 > U|, поэтому получим то же, что и раньше: следует выбрать безрисковый портфель (рис. 28).

0=4

о=0

Рис. 28. Кривая безразличия, на которой лежит рисковый портфель, расположена выше. Уровень кривой безразличия совпадает с ожидаемой величиной полезности дохода вдоль нее (см. пример п. 3.8)

Итак, имеются два актива со случайными эффектавностями Я2. Возможные значения этих эффектавностей и их вероятности сведены в таблицу:\r\nВероятности (р) 0,2 0,8\r\nR1 5% 1,25%\r\nR2 -1% 2,75%\r\n

Пусть функция полезности инвестора

и(Я)= 1,2Я-0,1Я2. (43)

Будем искать оптимальные пропорции Х|, х2 (Х| + х2 = 1) составного актива по критерию ожидаемой полезности.

При этом способе полезность составного актива выступает как случайная величина со значениями, зависящими от долей Х1 и х2. Комбинируя эти значения полезности с заданными вероятностями (р), придем к математической постановке интересующей нас задачи максимизации.

Чтобы воспользоваться этой схемой, запишем ряд распределения случайной эффективности смеси (составного актива):\r\nВероятности (р) Q J j 0,8\r\nДоход "смеси" (R) 5х, + (-1)(1 - х,) = 6ж, - 1 ! 1,25х + 2,75(1 - х,) = 2,75 - 1,5х,\r\nОт него с помощью функции (43) легко случайных значений полезности U(R): перейти к ряду распределения\r\nВероятности (р) 0,2 0,8\r\nПопезность (U(R)) U,(x,) = 1,2(6х, - 1)- 0,1(6*, -1)2 U2(x,) = 1,2(2,75 - 1,5х,) -

- 0,1 (2,75 - 1,5х>)2\r\nи найти:

E(U(R)) = 0,2U,(x,) + 0,8U2(x,). (44)

Дифференцируя это выражение по Х|, получим уравнение:

0,2(1,2 х 6 - 0,2(6Х| - 1)6) + 0,8(-1,2 * 1,5 - 0,2(2,75 - 1,5х,)(-1,5)) = 0,

из которого найдем, что Х| = 0,5, то есть в каждый актив следует вложиться половиной наличности.

Решим ту же задачу, опираясь на уровневую функцию полезности (42), выводимую из функции полезности инвестора (43). Для оптимизации по данному методу необходимо выразить ожидаемую доходность смеси и дисперсию ЭТОЙ ДОХОДНОСТИ через неизвестные Х[ и х2.

, В примере п. 3.3 эти активы уже фигурировали и там было установлено, что т, == т2 = 2 и 0|2 = о22 2,25 и oi2 = - 1. Отсюда легко получить характеристики составного актива: m = 2, о2 = X|2oi2 - 2X1X20,02 + х22о22 = = 2,25(2Х] - I)2.

Подставляя эти формулы в функцию (42), получим следующую задачу максимизации:

2 - 0,1 х 2,25(2х, -1)2 — max , (45)

которая имеет очевидное решение Х| = 0,5, что совпадает с ответом, найденным первым методом. Максимальный уровень, то есть значение критерия (45) на оптимальном решении X] = 0,5, тот же, что и у максимума ожидаемой доходности - 2.

Кривая безразличия для уровневой ФП Н.-М.

Ее уравнение выводится из уровневой ФП Н.-М. (41) и имеет вид:

Ic - am с

о-J—-—, где та-.

V b а \r\n

Как видим, характер полученных кривых согласуется с линиями уровня, нанесенными на рис. 27 для случая (а) (неприятие риска).