4.1. Модель задачи оптимизации рискового портфеля

\r\nп §

х,

¦ 1 . (46) \r\n

\r\nЭффективность портфеля:

(47)

где ^ - случайные эффективности с известными математическими ожиданиями Е(^) = п^ и дисперсиями Э(^) = о^2.

Не расположенный к риску инвестор действует в соответствии с тео-ремой Неймана-Монгенштерна, составляя портфель таким образом, чтобы максимизировать математическое ожидание полезности (34) дохода Очевидно, по общему свойству задач условной оптимизации, что с \r\n

расширением выбора (4У) (при росте п) шансы на более высокий уровень ожидаемой полезности увеличиваются, то есть ему и в самом деле прихо-дится решать портфельную задачу. Из предыдущего материала мы знаем, что к одинаковому оптимальному результату можно прийти, пользуясь вместо (34) уровневой функцией полезности U(m, о) (41).

В качестве целевой эту функцию, как уже отмечалось, можно рассматривать как скаляризацию двухкритериальной задачи оптимизации с ограничением (46) и критериями E(RP) -» max, D(Rp) -» min. Постулируемые здесь критерии цели вытекают из утверждения, что инвестор при выборе между портфелями будет стремиться максимизировать свой ожи-даемый доход при данной степени риска или минимизировать свой риск при данном уровне ожидаемого дохода.

Чтобы записать эту задачу через неизвестные j - 1,п}» нам придется

воспользоваться правилами теории вероятностей для получения ожидаемого значения и дисперсии случайной эффективности Rp. Переходя к математическому ожиданию суммы (47), получим формулу ожидаемого эффекта:

mp-E(Rp)-|xjE(Rj) = |xjmj.

В силу условия (46) величина тр, будучи ожидаемым доходом на единицу капитала, является поэтому и характеристикой ожидаемой доходности.

Для записи дисперсии воспользуемся определением ковариации двух случайных величин Rj и Rj:

Vs = E((Rj - mi)(Rj-inj)).

Отклонение от ожидаемого значения определится следующим образом: и

Rp"mp -|jxi(Ri-mi)-

Математическое ожидание квадрата этого отклонения есть дисперсия эффективности портфеля

Vp-E((Rp-m1>)a)-ttx1xJE((R1-m1XRJ-mJ))-22VuxlxJ.

. Яя ¦ J

Очевидно, что:

Уц=Е((^-Ш;)2) = 0;2, ТО есть Vjj я\'вляются дисперсиями R|.