Модель двухкритериальной оптимизации портфеля инвестора
и п п
m - ^ Xjtiij -» шах, а2 - ^ ^ V^Xj -» min,
|Xj-l («)
В общем случае неизвестные Xj могут быть больше, меньше или равны нулю.
Их знаковость указывает характер сделки: покупка ценной бумаги для плюса (xj > 0) и ее продажа без обеспечения - операция типа short ьаіе - в минусовом случае (х, < 0). Если для первою вида (Х| > 0) смысл сделки понятен из названия: купить дешевле и затем дороже продать, то вторая рекомендация (Xj < 0) раскрывается правилами короткой продажи и требует дополнительного пояснения.Короткая продажа (short-sale). Биржевая продажа ценных бумаг без покрытия или, как еше говорят, без обеспечения совершается путем займа ценных бумаг для их использования в первоначальной сделке (продажа), а затем погашения займа такими же ценными бумагами, приобретенными в последующей сделке (покупка).
При таком способе торговли выручка от продажи взятых взаймы акций идет впереди покупательских расходов, необходимых для возвращения одолженных бумаг. И поэтому логика обычной рыночной сделки меняется на прямо противоположную: "Продать дорого, а затем дешево купить".
Продажи без покрытия не столь уж редки и вызывают глубокий интерес участников финансового рынка; на Нью-Йоркской фондовой бирже они составляют от 6 до 8% общего числа заключенных сделок и имеют тенденцию к росту.
Попробуем теперь разобраться в их отношениях с портфелем ценных бумаг. Переменная Xj < 0 указывает на продажу того, чего нет, а ее величина дает долю прироста объема вкладываемых средств в результате такой продажи. Манипулируя знаками сделок, инвестор может нарастить вложения в высокодоходные ценные бумаги за счет выручки от коротких продаж менее выгодных бумаг.
Вместе с тем на пути реализации такой схемы имеется целый ряд пре-пятствий.
Одно из них - предусматриваемые биржей финансовые гарантии, по которым деньги за короткую продажу можно получить лишь после возвращения занятых акций. Поэтому когда в задаче про портфель говорят об операциях типа short-sale, то имеют в виду любые доступные сделки по продажам без обеспечения с условием полной предварительной оплаты. Это могут быть как биржевые короткие продажи при соответствующих договоренностях с брокером, так и срочные контракты с платежом в начале и поставкой в конце.После этого краткого отступления вернемся к исходной задаче (48). Пока что мы выяснили, что если некоторые переменные этой задачи окажутся отрицательными, то это будет означать, что поданным позициям следует участвовать в операциях, аналогичных продажам без покрытия. Очевидно, что точка (Х|, ..., хп), доставляющая максимум полезности U(m, о), принадлежит множеству таких допустимых точек задачи (48), \r\nкоторые не могут быть улучшены сразу по двум критериям: т и о. В теории многокритериальной оптимизации такие решения называются Па- ретв-оптимальнымн, или эффективными.
Чтобы пояснить смысл этого понятия, представим себе контур, соединяющий точки с координатами ш, о, вычисленными для допустимых точек некоторого "условного" множества х (
рис. 30
). \r\n
Рис. 30. Восходящая дуга АВ соответствует Парето-оптимальному множеству решений
т
\r\n
\r\nМножеству эффективных точек соответствует восходящая дуга АВ: для любой посторонней точки, например С, можно построить улучшающую ее точку (*) в том смысле, что либо т* > т, а* = о (точка С|), либо ш* = ш, о* < о (точка С2), либо т* > т, а* < а (точка С3), а для "своих" точек этого сделать нельзя.
В связи с этим ясно, что поиск оптимального по критерию полезности и(ш, о) портфеля можно проводить в два этапа: вначале, решая задачу (48), найти, множество эффективных портфелей, а затем из этого множества отобрать портфель с максимальным уровнем полезности. Очевидно, что это может быть сделано с помощью множества эффективных точек.
Для решения задачи первого этапа воспользуемся известным методом сведения многокритериальных задач к однокритериальным. Его суть состоит в замене критерия ограничивающим его значение условием.