Квадратичная функция полезности

и (г) = аг + Ьг2 (а > О, Ь < 0). (34)

Функция (34), известная еще как полезность Неймана-Монгенштерна (ФП Н.-М.), широко используется в теории финансов, в частности - рынка ценных бумаг.

Из графика квадратичной зависимости (34) понятно, что как кривая

полезности он имеет смысл только на ограниченном интервале (0, а ),

2Ь

где предельная полезность — = а + 2Ьг>0 (

рис. 21

<1г

\' W)

г=-а/2Ь -а/Ь Рис. 2і. Квадратичная функция полезности

Из-за этого анализ, проводимый с помощью такой простой функции, ограничен и может применяться только теми инвесторами, которые просчитывают варианты с возможностью дохода Я ниже критического уровня Ъ = - а/2Ь. Здесь прописной К обозначен случайный доход с возможными значениями гЄ(0; - а/2Ь).

І Пример. Рассмотрим простейшую иллюстрацию выбора по максимуму Д ожидаемой полезности (34). Возьмем два различных инвестиционных портфеля. При одинаковой ожидаемой величине отдачи один из них не связан с

риском [доход полностью определен), а другой связан с риском.

Характеристики рискового портфеля зададим следующей таблицей распределения: \r\nR - случайный доход - 4 4\r\nР - вероятности 0.5 0,5\r\n

Этот портфель сулит приращение вложенных средств на 4 ед. с веро-ятностью 0,5 или их потерю на те же 4 ед. с той же вероятностью 0,5.

Второй портфель с риском не связан и не обещает никаких изменений с вложенными средствами, зато позволяет сохранить их без всяких потерь.

Пусть функция полезности U(r) = 1,2г - 0,1 г2. Так как для первого портфеля доход R - случайная величина, то и U(R) - случайная величина\r\nU(R) U(- 4) = - 6,4 U(4) = 3,2\r\nР 0,5 0,5\r\nПосчитаем для него ожидаемую величину полезности:

Ец = Е(и(Я)) = 0,5(- 6,4) + 0,5 х 3,2 = - 1,6.

Для второго портфеля доход есть неслучайная величина г = 0 и его полезность и(г = 0) = 0 также неслучайна, а потому ее ожидаемое значение совпадает с ней самой и равно нулю.

Таким образом, для безрискового портфеля величины ожидаемой по-лезности больше (0 > - 1,6), то есть инвестор предпочтет деньги.

Графически это решение выглядит следующим образом (

рис. 22

Рис. 22. График простейшего выбора

Зададимся вопросом: "А какой безрисковый доход имеет ту же полезность (- 1,6)"? Денежное выражение этой полезности (потеря полезности по сравнению с "замороженным" вкладом, то есть с нулем) можно найти графически, как это показано на рис. 23а.

Проведем горизонтальную линию от точки (0, - 1,6) до кривой полезности (точка К), а затем - вертикаль через точку К до пересечения с горизонтальной осью. Эквивалентная денежная сумма определяется абсциссой точки Р. Принимающий решение готов заплатить эту сумму, чтобы исключить свое участие в игре, иначе говоря, - исключить риск с помощью страховки.

Рис. 23. Безрисковые эквиваленты простейшего выбора

Лая склонного к риску кривая полезности повернется вниз, и ее дуга окажется под прямой М N (

рис. 23

Заметим, что данный пример имеет демонстрационный характер. Ответ был очевиден с самого начала, и его можно угадать. В самом леле, поскольку сравниваемые активы равноэффективны, то не склонный к риску инвестор (модель с квадратичной функцией полезности) выберет тот вариант, который имеет меньший разброс результата, в нашем случае - безрисковый (23а), а &г,я выбирающего риск предпочтительным окажется портфель "со случайностью" (236).