§ 2. Деньги в функции полезности (money-in-utility)

В рассматриваемом классе моделей предполагается, что домохозяйства получают пользу от денег, включая реальные денежные остатки непосредственно в качестве аргумента в функцию полезности.

Ut = U (ct, zt),              (5)

где ct - поток реального потребления в единицу времени, а zt - поток услуг, полученных от реальных денег на руках, в единицу времени. Для упрощения предполагается, что поток услуг пропорционален реальному денежному запасу и коэффициент пропорциональности равен единице:

Zt = m = MjptNt,              (6)

где Mt - объем номинальных наличных денег на руках у экономической единицы, Nt - число индивидов в одной семье, а pt - цена (в денежном выражении) единственного производимого в экономике продукта. Таким образом, функция полезности (5) может быть переписана в виде:

Ut = U (ct, mt).              (7)

Для того чтобы гарантировать существование монетарного равновесия в модели, часто вводится дополнительное предположение следующего характера: для любого уровня потребления c существует

конечный уровень m gt; 0 такой, что u (c,m) lt; 0 для всех m gt; m. Это условие означает, что предельная полезность денег при высоких значениях реальных кассовых остатков становится отрицательной. В то же время это условие не является необходимым условием существования равновесия. Уолш (Walsh, 2003) отмечает, что одна из часто используемых функций полезности u (c,m) = logc + blogm не удовлетворяет данному условию, поскольку u = b/m gt; 0 для любых конечных m.

Рассматриваемая функция полезности строго вогнута и дважды непрерывно дифференцируема; оба товара (с и m) не являются инфери- орными благами. Суммарное благосостояние в каждый конкретный момент времени может быть представлено следующим функционалом: 00

W=\\[u{ct,m,)]e-adt,              (8)

О

где 5 gt; 0 субъективная ставка межвременных предпочтений конкретной семьи.

В каждый момент времени экономический агент сталкивается с двумя ограничениями. Первое - в виде запасов - требует, чтобы суммарный запас реального материального богатства был разделен между капиталом (k) и реальными наличными остатками (m), т.е.

at=kt + m .              (9)

Второе ограничение - в виде потоков - требует, чтобы в каждый момент времени валовый располагаемый доход был равен сумме потребления (с) и сбережений (s). Предположим, что производственная функция линейно однородна, тогда с помощью капитала производится y(k t ) единиц выпуска. Мы получаем, что

У(к,) + V = С + s,,              (10)

где vt - реальная величина чистых трансфертов, получаемых экономическим агентом от государства. В свою очередь, реальные валовые сбережения равны сумме валового накопления капитала (i) и валового приращения реальных кассовых остатков на руках у агента (x), т.е.

s t =. t + X.              (11)

При этом

it = kt + (u + n )kt              (12)

и

X = mt +(n+ n )m,,              (13)

•

где kt - прирост капитала, ukt - возмещение выбывшего капитала, nkt - накопление, необходимое для обеспечения новых членов семьи капиталом на уровне запаса капитала у старых членов экономической единицы (u - норма амортизации, n - темп роста числа индивидов в семье), nt - ожидаемое изменение уровня цен.

Ограничение (10) может быть переписано в виде

y(kt) + vt - (п + n)mt -(u + n)kt - mt - kt - ct = 0.              (14)

Дифференцирование условия (9) по времени и подстановка полученного выражения в (14) приводит к следующему результату:

at = y(kt) + vt-(п, + n )m,-(u + n )k, - c,.              (15)

Уравнения (9) и (15) являются ограничениями в терминах запасов и потоков, которые при заданном начальном условии (a0) и заданных величинах u, n, nt и vt позволяют получить решение для потребления и денежных накоплений, при которых достигается максимум функции (8).

(16)

e\'dt

y (К)+v-(п + n )m - -(u + n) К - ct - a, +q [ - k.- m ]

где Xt и qt - множители Лагранжа. Условия оптимальности задаются уравнениями Эйлера (17)-(20) и условием трансверсальности (21):

Uc (ct, mt )=Л,              (17)

Um (ct, mt ) = А (nt + r, + n)              (18)

(19)

19. (21)

y ’(k,)-(u + n ) = r,

Xt

= d - rt

X

lim a^e              = 0,

где r,=qJK

Задача сводится к нахождению траекторий изменения эндогенных переменных ct , mt , k, at , Xt и rt , удовлетворяющих начальным условиям и условиям (9), (15), (17)-(21).

Уравнения (17) и (18) позволяют получить выражения для спроса на товар и реальные деньги как функции неявной цены потребления, неявной процентной ставки и ожидаемого изменения уровня цен:

(22)

c = c0 (, r,n)

m = m0 (, r,n),              (23)

а функцию спроса на реальный капитал можно получить из уравнения (19):

к = к0 (г).              (24)

Условие (11) позволяет определить скрытую процентную ставку как функцию запаса богатства, скрытой цены потребления и ожидаемой инфляции:

a = к0 (г) + m0 (Л, г,ж),              (25)

а именно:

г = г(,Л,п).              (26)

Подставив полученное условие в уравнения (22)-(24), получим функции спроса на товар, капитал и реальные наличные деньги, зависящие от материального богатства, неявной цены потребления и ожидаемого изменения уровня цен:

c = c\'(с,Л,п)              (27)

m = m\'(с,Л,П)              (28)

к = к\' (a,Л,п).              (29)

Для заданных значений ожидаемой инфляции и государственных трансфертов дифференциальные уравнения (15) и (19) определяют траектории скрытой цены потребления и запаса богатства[1]. Для заданных начальных условий на запас активов a0 существует единственная траектория изменения a и X, удовлетворяющая уравнениям Эйлера (17)-(20), ограничениям (9) и (15) и условию трансверсальности (21).

Л = Л(с1,л, v).              (30)

Подставив (30) в уравнения (27)-(29), мы получим функции спроса на товар, реальные деньги и капитал, зависящие от суммарного богатства, ожидаемой инфляции и чистых государственных трансфертов частному сектору:

с = с(а,п, v)              (31)

m = m(a,n, v)              (32)

k = k (а,п, v).              (33)

1_

l-b

Характерной чертой моделей наличной оплаты часто является нечувствительность спроса на деньги к процентной ставке. В моделях деньги в функции полезности могут быть введены альтернативные издержки хранения денег в виде неполученного процентного дохода (или инфляции, как это сделано в оригинальной модели). Это приводит к тому, что спрос на деньги зависит от процента, а экономические агенты стремятся оптимизировать имеющиеся у них на руках денежные запасы. Следуя Уолшу (Walsh, 2003), рассмотрим следующую функцию полезности, характеризующуюся постоянной эластично

стью замещения (CES-функцию): u (ct, mt) = [ac(1 b + (1 - a) m] b ]

откуда функция

где 0 lt; a lt; 1 и b gt;0, b Ф 1. Тогда              = 1 a

a

1 1 (1 - a \\ b ( i ^              b

спроса на деньги будет иметь вид:              mt              = I I I I              ct.              В

V a j V1 + i j

более общепринятой логарифмической форме такая спецификация

была использована в работе Голдфельда и Сичела (Goldfeld, Sichel,

, M              1              (1 - a ^              1              i

1990):              log              = — logI              I + log c — log              .

PtN, b              V a j              b              1 + i

в этом случае равна 1/b.

( і \\

спроса на деньги по проценту

t у

Отметим также, что в случае b ^ да функция спроса на деньги имеет вид ограничения в рамках моделей наличной оплаты, т.е. b = c. Если b = 1, то функция полезности трансформируется в функцию Кобба-

Дугласа u(ct,mt)= caml;a, а соответствующие эластичности спроса на деньги по потреблению (доходу) и альтернативной стоимости хранения денег yt равны единице.

Однако непосредственное включение денег в функцию полезности может вызывать определенные сомнения относительно того, что именно деньги сами по себе приносят пользу агенту, а не услуги, которые предоставляются деньгами[2]. Эта проблема может быть решена путем косвенного включения денег (точнее, услуг ликвидности, предоставляемых деньгами) в функцию полезности через бюджетное ограничение. В качестве последнего можно использовать уже рассмотренное нами ограничение типа наличной оплаты, подразумевающее, что потребление агента в некотором периоде не может превышать запас его реальных денег на начало этого периода (см. условие (4)). Такое лимитирование покупок агента является крайне нереалистичным. Дополнительное ограничение моделей наличной оплаты связано с тем, что в них предполагается единичная скорость обращения дохода. Эта проблема была решена в работе Гуидотти (Guidotti, 1993). Ниже мы рассмотрим более широкий подход, построенный на ином типе бюджетного ограничения и впервые введенный Сэйвингом (Saving, 1971).