Инструментальные переменные


Что следует делать при наличии ошибок измерения? Если их причиной является неточность при подготовке данных, то единственное, что можно сделать, — это обрабатывать данные более тщательно.
Если же их причина заключается в том, что измеряемая переменная принципиально отличается от истинной объясняющей переменной в зависимости, то можно попытаться получить более подходящие данные. Часто это бывает трудно осуществить на практике. Если требуется получить временной ряд по совокупному измеренному доходу, то его можно найти в национальных счетах, но не существует прямого способа получения данных по совокупному постоянному доходу. М. Фридмен решил эту проблему, предложив оригинальный косвенный метод, рассматриваемый в главе 10.
Здесь мы объясним использование метода инструментальных переменных (ИП) — наиболее важной разновидности метода наименьших квадратов — для решения данной задачи. Это также будет иметь большое значение, когда мы приступим к оцениванию параметров моделей, состоящих из нескольких уравнений.
(8.33)
В сущности, метод инструментальных переменных заключается в частичной замене непригодной объясняющей переменной такой переменной, которая не коррелирована со случайным членом. Ограничимся случаем парной регрессии:
у = а + Рх + и
и допустим, что по какой-либо причине х имеет случайную составляющую, зависящую от и. Будем также предполагать, что в больших выборках Var (х) стремится к конечному пределу о2. В этих условиях непосредственное применение МНК для построения регрессионной зависимости у от х привело бы к несостоятельным оценкам параметров.
Теперь предположим, что можно найти другую переменную z, которая коррелирована с х, но не коррелирована с и. Покажем, что основанная на использовании инструментальных переменных оценка параметра 8, определяемая как
Cov(z, у)
\"\"
(8.34)
является состоятельной при условии, что при увеличивающемся числе наблюдений Cov (z, х) стремится к конечному, отличному от нуля пределу, который мы обозначим как ст^. Это означает, что в больших выборках Аип стремится к истинному значению р. Перед этим полезно сравнить Аип с оценкой МНК, которую обозначим как Амнк:
(8.35)
Cov(x.y) _ Cov(x.y) Var(x) Cov(x, х)
так как Cov (х, х) и Var (х) — одно и то же. Оценка ИП в парном регрессионном анализе получается путем подстановки инструментальной переменной z вместо х в числителе и вместо одного х (но не обоих) в знаменателе.

Используя уравнение (8.33), мы можем записать выражение для Аип следующим образом:
Cov(z, у) Со v(z, {а + Рх + и})
Cov(z,x) Cov(z.x)
(8.36)
Cov(z,ot) | Cov(z.Px) | Cov(z, и) - f Cov(z,u) Со v(?,x) Cov(z,x) Cov(?,x)              Cov(?,x)’
так как Cov (?, а) равна нулю (а является постоянной) и Cov (?, рх) равна Р Cov (z, х). Таким образом, можно заметить, что оценка по методу инструментальных переменных равна истинному значению плюс ошибка, равная Cov (?, и)/Сov (?, х). В больших выборках ошибка исчезает, так как
plimCov(z, и) plimCov(?, x)
\"\"
(8.37)
р1ішАип = P +
при условии, что переменная z действительно распределена независимо от и. Следовательно, на больших выборках Аип будет стремиться к истинному значению р.
\"\"
Почти ничего нельзя сказать о распределении оценки Ьт на малых выборках, но при увеличении п ее распределение будет стремиться к нормальному с математическим ожиданием р и дисперсией:
(8.38)
\"\"
где rx z — выборочный коэффициент корреляции между X И Z. Сравним полученное выражение с дисперсией оценки МНК:
(8.39)
Основное различие заключается в том, что дисперсия Аип умножается на 1 /г\\ ґ Чем теснее корреляция междух и z, тем меньше будет этот коэффициент и, следовательно, тем меньше будет дисперсия Ьт. Следовательно, если мы стоим перед выбором между несколькими возможными инструментальными переменными, то следует выбрать наиболее тесно коррелированную с х, потому что при прочих равных условиях она даст наиболее эффективные оценки. Вместе с тем было бы нежелательно использовать инструментальную переменную, полностью коррелированную с х, даже если бы ее удалось найти, потому что тогда она автоматически оказалась бы коррелированной также и с и, и мы по-прежнему получили бы несостоятельные оценки. Нам нужна инструментальная переменная, наиболее тесно коррелированная с х, но без корреляции с и.
Что следует делать при невозможности найти инструментальную переменную, достаточно тесно коррелированную с х? Тогда можно вновь вернуться к методу наименьших квадратов. Если, например, критерием выбора оценки является ее стандартная ошибка, то вы можете предпочесть оценку МНК любой оценке, полученной по методу инструментальных переменных, несмотря на смещение, потому что здесь дисперсия меньше.
<< | >>
Источник: Доугерти К.. Введение в эконометрику: Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М,1999. — XIV, 402 с.. 1999

Еще по теме Инструментальные переменные:

  1. Эндогенные переменные модели
  2. переменные затраты
  3. Постоянные и переменные издержки.
  4. Фиктивные переменные как регрессоры
  5. Экзогенные переменные в модели
  6. Предопределенные переменные модели
  7. Регрессия с ошибками во всех переменных
  8. Модели с бинарной зависимой переменной
  9. Модели с дискретной зависимой переменной
  10. 4. 8.1 Преодоление сопротивления переменам
  11. Использование фиктивных переменных в моделях с временными рядами
  12. Коинтеграция. Регрессии с интегрированными переменными
  13. Модели с качественной зависимой переменной
  14. Кредит с переменной процентной ставкой
  15. Пример расчета цены на основе переменных затрат.
  16. Использование фиктивных переменных для проверки однородности наблюдений и прогнозирования
- Авторское право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право - Инвестиционное право - Информационное право - Исполнительное производство - История государства и права - История политических и правовых учений - Конкурсное право - Конституционное право - Корпоративное право - Криминалистика - Криминология - Маркетинг - Международное право - Менеджмент - Муниципальное право - Налоговое право - Наследственное право - Обязательственное право - Оперативно-розыскная деятельность - Права человека - Право зарубежных стран - Право социального обеспечения - Правоведение - Правоохранительная деятельность - Предпринимательское право - Семейное право - Судопроизводство - Таможенное право - Теория государства и права - Трудовое право - Уголовно-исполнительное право - Уголовное право - Уголовный процесс - Философия - Хозяйственное право - Хозяйственный процесс - Экологическое право - Экономика - Ювенальное право - Юридическая техника - Юридические лица -