Инструментальные переменные (ИП)

Как было показано в главе 8, проблема коррелированности объясняющей переменной со случайным членом может быть разрешена с помощью метода инструментальных переменных (ИП).

Для применения данного метода необходимо сначала найти подходящую инструментальную переменную, которая обладала бы следующими свойствами: 1) она должна коррелировать, желательно тесно, с неудачной объясняющей переменной (в данном случае с У); 2) она не должна коррелировать со случайным членом. Так получается, что модель сама предоставляет нам необходимую переменную. Величина /, коррелирует с Yt, поскольку Yt зависит от

It, согласно приведенной форме уравнения (11.3), и /, не коррелирует с и,, поскольку является экзогенной переменной. Оценка Р с помощью инструментальной переменной /, определяется как

Cov(/,C)

‘“"сwry              (1119)

Можно показать, что полученная оценка Аип эквивалентна Акмнк — оценке р с помощью КМНК. Возвращаясь к (11.11) и учитывая, что/\'рассчитывается как Cov (/, C)/Var(/), мы получим:

Cov(/,C)

Ь\'              Var              (/)              Со v(/,C)              Cov(/,C) ,

Шнк 1+ Ь\' , . Cov(7,С)              Var(/) + Cov(/,C) Var(/,y) ип’ (11.20)

— ¦¦ =              (А_              ,              ^,4              =              —              —              =              —              = —              =              ОЦ

I + \' Var(/)

поскольку Cov (/, Y) может быть переписана как Cov (/,[/ + CJ) и далее преобразована в Var (/) + Cov (I, С).

Описанное правило применимо и в общем случае. Если уравнение в модели одновременных уравнений однозначно определено, метод ИП позволяет получить те же самые оценки коэффициентов, что и КМНК, если экзогенные переменные модели используются как инструментальные переменные.

Пример

Если обратиться к модели в эксперименте по методу Монте-Карло, построенной для иллюстрации применения КМНК, и использовать вместо этого метод ИП, взяв / как инструментальную переменную для К, то мы получим в точности те же оценки аир, что и в последних двух столбцах табл. 11.1.

Свойства оценок, полученных методом ИП и КМНК

Анализируя КМНК, мы показали, как можно получить оценки структурных параметров из оценок коэффициентов уравнений в приведенной форме, но ничего не сказали о свойствах этих оценок: являются ли они несмещенными, состоятельными и т.д., не показали, как рассчитать их стандартные ошибки.

Теперь, когда показано, что в случае однозначной определенности КМНК эквивалентен методу ИП, мы можем ответить на все эти вопросы, обратившись к разделу 8.4. И хотя КМНК позволяет получить несмещенные оценки параметров уравнений в приведенной форме (что обеспечивается выполнением традиционных условий Гаусса—Маркова), нельзя делать какие-либо выводы об оценках коэффициентов структурных уравнений, рассчитанных с помощью КМНК и метода ИП на малых выборках. Приняв некоторые предпосылки, можно показать, что эти оценки состоятельны, и вывести выражения для их стандартных ошибок, применимые на больших выборках. В частности, в случае уравнения с одной объясняющей переменной величина дисперсии распределения b с ростом числа наблюдений стремится к выражению (8.38). (Применительно к рассматриваемой модели в качестве х используется переменная Y, в качестве Z — переменная /.)

Обычно, однако, на практике выборка оказывается не такой большой, чтобы можно было положиться на полученные результаты, и остается просто надеяться, что они приблизительно верны. Если для данной модели вам действительно необходимо исследовать свойства оценок, полученных с помощью КМНК и метода ИП, то можно выполнить соответствующие эксперименты по методу Монте-Карло.

Используя эксперименты по методу Монте-Карло, можно проверить состоятельность оценок на основе МНК и метода ИП, объединив 10 выборок в одну большую выборку из 200 наблюдений. Построение уравнения регрессии между С, и Yt методом ИП с использованием It как инструментальной переменной дает оценку предельной склонности к потреблению 0,76, что очень близко к действительной ее величине. Используя КМНК, мы оцениваем регрессионную зависимость С, от /, и получаем коэффициент при этой переменной, равный 3,20. С его помощью мы рассчитываем предельную склонность к потреблению, равную 0,76, т. е. имеем точно такое же значение, как и для оценки методом ИП.