Уравнения с разделяющимися переменными

Определение 4. Дифференциальное уравнение вида

В этом уравнении переменная у входят ь левую часть а переменная .г — только в правую, т. е. переменные разделены. При этом два дифференциала равны друг другу, только в правой части дифференциал выражен через независимую переменную г, а з девон части — через функцию у. Следовательно, их неопределенные интегралы различаются на постоянную величину, т. е , интегрируя от спа по переменной у, а справа — по переменной .г, получаем:

где С- произвольная постоянная.

Пример 4. ху’ - г/= 0, найти общее решение этого уравнения.

Решение. Разделим переменные, для чего перенесем у в правую часть, поделим иое части полученного уравнения налу и умножим их наг/т; получим:

Интегрируя обе части этого уравнении {правую по г, а левую — по ;/), имеем

|де С — произвольная постоянная. При потенцирован ни получаем:

что *жвнвалентно уравнению ?/ = ± £т, пли у=С,х.

точку (0, !).

Решение. Разделяя переменные, получаем уравнение в днфферен-

где С — произвольная постоянная величина. После им гегриронтнн (интеграл в правой части берется при помоиш замены переменно!!) имеем уравнением семейства интегральных кривых

Выделение частного решения, проходящего через точку (0, 1), приводит к определению произвольной постоянной: С = л/2.т. е. эта кривая описывается уравнением (с учетом выбора знака)

9.1.1.