Неполные уравнения
Определение 5. Дифференциальное уравнение первого порядка (9.2) называется пгполным если ф ункция / явно зависит только от одной переменной: либо от х, либо от у.
1.
Пусть функция / зависит только ог х.
Переписав это уравнение в виде негру LNO убедиться, что его решением является функция
2.
Мус гь функция/зависит только от у, т. е уравнение (9.2) имеет вид
Дифференциальное уравнение такого вида называется автономны и. Такие уравнения часто употребляются в практике математического моделирования в экономике, когда независимая переменная т играет роль времени, не- входящего в соотношения. В этом случае особый интерес представляют гак называемые точки равновесия или стационарные точки— нули функции /(у), где производная у\' = 0.
Решение уравнения (9.7) .методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению для определения неизвестной функции у = class="lazyload" data-src="/files/uch_group28/uch_pgroup23/uch_uch635/image/368.jpg">
Будем рассматривать уравнения, которые можно записать в виде, разрешенном относительно второй произвол ной:
Как и в случае уравнения первого порядка, решением уравнения (УД4) называется функция г/ = ф (.г), определенная на некотором ии гервале (я, Ь). которая обращает это уравнение в т ождество. График решения называется нит< гртлыюп кривой. Имеет место теорема существования и единственности решения уравнения второго порядка.
Теорема 9.2 (Теорема Коши). Пусть функция /(д, у, у’) и ее частные производные f!| и /\'и непрерывны в некоторой области 1) пространства переменных (.г. у, у\'). Тогда для любой вну і ренней точки Мв (ду. у0, г/\' ) этой области существует единственное решение уравнения (9.15), удовлетворяющее условиям
Угловия ГУ 16) называются начальными ус тенями. а задачу отыскания решения уравнения вида (9.15) по заданным начальным условиям называют задачей Коши.
В общем спучае уравнения *5.15) имеет множество решений, поскольку в него входят две неопределенные постоянные, появляющиеся из-за двукратного интегрирования.
