Влияние отсутствия в уравнении переменной, которая должна быть включена Проблема смещения

Предположим, что переменная у зависит от двух переменных х, и х2 в соответствии с соотношением:

у = a + Р,х, + Р2х2 + и,              (6.1)

однако вы не уверены в значимости х2.

у = а + Р,х, + и,,              (6.2)

вы оцениваете регрессию

y = a + blxl              (6.3)

Сначала мы дадим интуитивное объяснение этого, а затем — формальное доказательство.

В разделе 5.2 показано, что если опуститьх2 в регрессионном соотношении, то переменная х, будет играть двойную роль: отражать свое прямое влияние и

=              №4)

Соу(х,,у)

Var(X|)

и вычисляете 6, по формуле Cov (x,,y)/Var (х,) вместо правильного выражения, данного в уравнении (5.12). По определению, Ьх является несмещенной оценкой величины р,, если Е(Ь{) равняется Р,. Практически, если соотношение (6.1) верно, то заменять переменную х2 в описании ее влияния. Данное кажущееся опосредованное влияние величины х, на у будет зависеть от двух факторов: от видимой способности х, имитировать поведение х2 и от влияния величины х2 на у.

(6.5)

Кажущаяся способность переменной х, объяснять поведение х2 определяется коэффициентом наклона h в псевдорегрессии:

х2 = g + Ах,.

(6-6)

Величина А, естественно, рассчитывается при помощи обычной формулы для парной регрессии, в данном случае Cov (х,, x2)/Var (х,). Влияние величиных2 на у определяется коэффициентом р2. Таким образом, эффект имитации посредством величины Р2 может быть записан как P2Cov (х,, x2)/Var (х,). Прямое влияние величины х( на у описывается с помощью Р,. Таким образом, при оценивании регрессионной зависимости у от переменной х, (без включения в нее переменной х2) коэффициент при х, определяется формулой:

Р, + P2Cov(x,,x2)/Var(x,) + Ошибка выборки.

При условии, что величина х, не является стохастической, ожидаемым значением коэффициента будет сумма первых двух членов этой формулы.

• У

Непосредственный эффект х, при постоянной х^

Эффект величины

Кажущийся эффект величины xv действующей в качестве звменителя х7

X.

г

Рис. 6.1

Формальное доказательство соотношения (6.4) не представляет труда. Выполним ряд теоретических преобразований оценки А,:

Var(x,)

= Cov(X[,y) = CovtXjJa + PjX, +Р2х2 +ы]) 1 Var(x,)              Var(x()

[Cov(X|, a) + Cov(x,, Pix,) + Cov(x,, p2x2) + Cov(x, ,u) =

Var(x,)

Var(xlt;) [0 + Pi Var(x,) + P2Cov(x,, x2) + Cov(x, ,«/)] =

(6.7)

В +B              Cov(xt,M)

Pl P2 Var(x|) Var(X|) \'

Если величины х, и х2 являются нестохастическими, то при вычислении математического ожидания величины А, первые два члена в уравнении (6.7) остаются неизменными, а третий будет равен нулю. Отсюда мы получаем формулу (6.4).

Этим подтверждается наш интуитивный вывод, что 6, смещена на величину, равную P2Cov (х,, x,)/Var (*,). Направление смещения будет зависеть от знака величин Р2 и Cov (х,, х2). Например, если Р2 положительна, а также положительна ковариация, то смещение будет положительным, а Ьх будет в среднем давать завышенные оценки р,. Самостоятельно вы можете рассмотреть и другие случаи.

Есть, однако, один исключительный случай, когда оценка 6, остается несмещенной. Это случается, когда выборочная ковариация между х, и х2 в точности равняется нулю. Если Cov (х,, х2) = 0, то смещение исчезает. Действительно, коэффициент, полученный с использованием парной регрессии, будет точно таким же, как если бы вы оценили правильно специфицированную множественную регрессию. Конечно, величина смещения здесь равнялась бы нулю и при Р2 = 0, но в этом случае неправильной спецификации не возникает.