Смещение при оценке одновременных уравнений

Ошибки измерения—не единственная возможная причина нарушения четвертого условия Гаусса—Маркова. Причиной может стать смещение, порождаемое системой одновременных уравнений, и этот случай лучше объяснить на примере.

Модель описывает закрытую экономику без государственного вмешательства. В модели используются традиционные обозначения системы национальных счетов, где Y, С и / представляют совокупный выпуск, объем потребления и инвестиций соответственно. Здесь мы не принимаем во внимание концепцию Фридмена, поскольку рассматриваемая проблема является достаточно самостоятельной, и предполагаем, что уравнение (11.1) описывает поведенческую зависимость. В таком упрощенном виде это предположение не очень реалистично, но оно поможет нам в решении поставленной задачи.

После подстановки выражения (11.1) в (11.2) и преобразования мы сможем найти значение /для любого момента времени:

Первые два слагаемых в правой части уравнения знакомы каждому, кто имеет

С, = а + РУ, + и,; У, = С, + /,

(11.1)

(11.2)

Предположим, что вы хотите оценить параметры уравнения функции потребления в простой кейнсианской модели формирования доходов: даже поверхностное представление о кейнсианской теории формирования дохода. Эти слагаемые показывают, что совокупный уровень доходов зависит от постоянной составляющей объема потребления и от объема инвестиций. Если объем инвестиций возрастает на единицу, то совокупный доход увеличится на 1/(1 — Р) единиц. Это и есть знаменитый мультипликатор.

Здесь важно также заметить, что уровень совокупного дохода зависит и от величины и — случайного члена в уравнениях функции потребления. Как это происходит? Предположим, что в некоторый год в стране отдельные неэкономические причины вызвали увеличение объема потребления. Пусть какое-то важное событие вызвало рост общественных и личных расходов.

Описанный процесс представляет такой же эффект мультипликатора, как и в случае изменения объема инвестиций, и значение мультипликатора будет точно таким же: 1/(1 — Р). Отсюда — появление слагаемого и/(1 — Р) в формуле (11.3). Если вы ставите перед собой единственную цель — увеличить выпуск и поднять уровень занятости, то для этого можно с одинаковым успехом расходовать деньги как на предметы роскоши, так и на инвестиции. Если вы не читали басню Б. Мандевиля «Ропчущий улей» (1705), перепечатанную позже как часть «Басен о пчелах», то советуем прочитать эту вещь.

Так или иначе, поскольку величина Y включает случайную составляющую и/(1 — Р), она автоматически оказывается коррелированной со случайным членом в уравнении (11.1), и четвертое условие Гаусса—Маркова нарушается. Поэтому если попробовать оценить значения а и Р с помощью МНК, то полученные оценки будут смещенными, а рассчитанные стандартные отклонения — некорректными.

О свойствах оценок на малых выборках мало что можно сказать. То, что происходит на больших выборках, зависит от поведения объясняющей переменной (переменных)              модели. Далее в этой главе мы              будем              обычно предполагать,

что дисперсии              переменных              и ковариации              между              ними              на              больших              выборках

стремятся к некоторым конечным пределам.

В рассматриваемой модели, если Var(/) на большой выборке стремится к пределу с), то величина Ь будет стремиться к

й,(1"Р)ст"              п

Р + —2 “Г*              (П.4)

СТ/ +ст„

и ошибка оценивания будет не нулевой (доказательство этого факта см. в приложении 11.1).

Содержательные экономические соображения позволяют нам предположить, что 0lt;рlt; 1, поэтому величина (1 — Р) будет положительной. Поскольку значения дисперсии всегда положительны, второе слагаемое в правой части формулы также будет положительным. Как следствие на больших выборках в данной модели величина Ь (оценка параметра Р) окажется смещенной вверх.

Величина ошибки будет зависеть: 1) от отклонения р от единицы и 2) от отношения аи2 к о/, т. е. от отношения дисперсии случайного члена к дисперсии объема инвестиций. Чем больше значения этих двух величин, тем серьезнее проблема. Предположим для примера, что отношение дисперсий равно \'/4, а значение р = 0,75. В таком случае b будет стремиться к величине 0,75 + 0,25 х (0,25/1,25), то есть к 0,80.

Проблема смещения, порождаемого системой одновременных уравнений, может быть разрешена путем замены МНК на другой метод оценивания. В следующих разделах мы обсудим три таких подхода. Все они — методы оценивания отдельного уравнения, в которых работа с каждым уравнением модели осуществляется самостоятельно. Системные методы, в которых все параметры уравнений оцениваются одновременно, в принципе более эффективны, однако мы оставляем их за рамками данной книги.

Что происходит, если значения дисперсии и ковариации объясняющих переменных не стремятся к некоторому конечному пределу? Предположим, например, что переменные имеют тренд и их дисперсии и ковариации между ними неограниченно возрастают. В таком случае МНК в итоге может оказаться состоятельным (работа Я. Кменты [Kmenta, 1984]). В разбираемой простой модели, если Var(/) неограниченно возрастает, то на больших выборках ошибка в оценке коэффициента регрессии исчезает и МНК обеспечивает состоятельную оценку.

Упражнение

1. В некоторой аграрной стране объем совокупного потребления обычно составляет 2000 единиц плюс случайная величина z, значение которой зависит от погоды. Среднее значение z = 0, стандартное отклонение — 100. Совокупный объем инвестиций изменяется согласно четырехлетнему циклу, начиная от 200, возрастая до 300 в следующем году, затем паля я последовательно до 200 и 100, возвращаясь обратно к 200, и т. д. Совокупный доход Yравен сумме С и /. В таблице приведены данные о значениях С, I и Y за 20 лет (в качестве z использовалась нормально распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и единичным стандартным отклонением, умноженная на 100).

Традиционный экономист, используя приведенные данные, получит следующее уравнение регрессии для зависимости С от К (в скобках приведены значения стандартных ошибок):

lt;? = 512+ 0,68 Y,              Л2 = 0,67;

(252) (0,11)              F= 36,49.

Объясните, как получены данные результаты, несмотря на то что величина С совсем не зависит от Y. Объясните также, почему некорректны тесты для /-статистики и F-статистики.