Основные понятия

Определение 1. Уравнение вида

где г — независимая переменная, учу\' — соответственно, неизвестная функция и ее производная, называется дифференциальным уравнением нс/н ого порядка.

Примеры дифференциальных уравнений первого порядка:

D случае когда на уравнения можно выразить у", оно имеет вид

Уравнение (9.2) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно проиявпдноИ. 13 дальнейшем будем рассматривать уравнения первого порядка именно такого вида. Примеры уравнении, разрешенных относительно производной:

Определение 2. Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у = ф (х), определенная на некотором интервале (а, Ь), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. График решения называется интегральной кривой.

Пример 3. Функция и =х2 тождественно обращает в нуль левую часть уравнения V/\' - 2т2 =0 и потому представляет собой решение этого уравнения.

В теории дифференциальных уравнений основной задачей является вопрос о существовании п единствен ноет а решения. Ответ на него дает теорема Коши, которую мы приводим без доказательства.

Теооема 9.1. Пусть дано днФФеоетшиалыюе Угавнеипе (9.2). Если

которой облает* О плоскости Оху, то в некоторой окрестности любой внутренней точки (х,>. у0) этой области существует единственное решение уравенния (9.2), удовлетворяющее условию у - уа при х =х\'о. Условия, которые задают значение функции 1/% в фиксированной точке х(), называют иачачьными углов или и (уаювиями Коши) и записывают п такой форме:

Задача нахождении решения уравнения (9.2). удовлетворяющего углов ню (9.3), называется заяпчвй Коши — из множества интегральных кривых выделяется та, которая проходит через заданную точку (,гс,у0) области С.

Определение 3. Общим решением уравнения (9.2) называется функция у= Ф (л С), удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении постоянной С,—это семейство интегральных кривых на плоскости Отт/.

9.1.2.