Законы арксинуса и случайное блуждание

Давайте поговорим о проигрышах, но сначала скажем несколько слов о первом и втором законах арксинуса. Эти принципы относятся к случайному блужданию. Поток торговых Р&Ь в некоторых случаях может быть неслучайным, хотя обычно большинство потоков торговых прибылей и убытков почти случайны, что можно подтвердить серийным тестом и коэффициентом линейной корреляции.

Законы арксинуса предполагают, что вы заранее знаете сумму, которую можно выиграть или проиграть, и допускают, что сумма, которую можно выиграть, равна сумме, которую можно проиграть, и эта сумма постоянна. В нашей дискуссии мы допустим, что сумма, которую вы можете выиграть или проиграть, — это 1 доллар за каждую игру. Законы арксинуса также допускают, что у вас есть 50% шанс выигрыша и 50% шанс проигрыша. Таким образом, законы арксинуса предполагают игру, где математическое ожидание составляет 0. Эти предположения относятся к играм, которые значительно проще, чем торговля. Однако первый и второй законы арксинуса в точности относятся к только что описанной игре. Конечно, напрямую они не применимы к реальной торговле, но для наглядности мы не будем различать игру и торговлю. Представим себе действительно случайную последовательность, такую, как бросок монеты , где мы получаем 1 единицу, когда выигрываем, и теряем 1 единицу, когда проигрываем. Если бы мы строили кривую баланса за Х число бросков, то наносили бы точки с координатами (X, Y), где Х представляет собой номер броска, а Y — наш общий выигрыш или проигрыш после этого броска.

Введем понятие положительной области, когда кривая баланса находится выше оси Х или на оси X, если предыдущая точка была выше X. Таким же образом мы определим отрицательную область, когда кривая баланса находится ниже оси Х или на оси X, если предыдущая точка была ниже X. Логично предположить, что общее количество точек в положительной области будет примерно равно общему количеству точек в отрицательной области.

На самом деле это не так. Если бросить монету N раз, то вероятность (Prob) осуществления К событий в положительной области составит:

(2.13) Prob ~ 1 / (ТС * К л 0,5 * (N - К) А 0,5),

где 71 = 3,141592654.

Символ ~ означает, что обе части стремятся к равенству в пределе. В этом случае, так как или К, или (N - К) стремятся к бесконечности, обе части уравнения будут стремиться к равенству.

Таким образом, если бросить монету 10 раз (N = 10), мы получим следующие вероятности нахождения в положительной области:

К Вероятность

0,14795

0,1061

0,0796

0,0695

0,065

0,0637

0,065

0,0695

0,0796

0,1061

0,14795

Можно ожидать попадания в положительную область 5-ти из 10-ти бросков, но это наименее вероятный результат!

Наиболее вероятным результатом будет нахождение в положительной области при всех бросках или ни при одном!

Этот принцип формально описывается в первом законе арксинуса, который гласит:

Для фиксированного А (0 < А < 1), когда N стремится к бесконечности, время, проведенное в положительной области (т.е., когда К / N < А), будет определяться следующим образом:

(2.14) РгоЬ {(К /14) < А} = 2 / 71 * АЯС (А л 0,5) где 7С = 3,141592654;

N = количество бросков;

К = количество бросков в положительной области.

Даже при N = 20 вы получите очень хорошее приближение для вероятности. Уравнение (2.14), то есть первый закон арксинуса, говорит нам, что с вероятностью 0,1 кривая баланса счета проведет 99,4% времени в одной области (положительной или отрицательной). С вероятностью 0,2 кривая баланса будет находиться в той же области 97,6% времени. С вероятностью 0,5 кривая баланса счета проведет в одной области более 85,35% времени. Настолько упряма кривая баланса простой монетки!

Существует также второй закон арксинуса, который основан на уравнении (2.14) и дает те же вероятности, что и первый закон арксинуса, но применяется к другому случаю, максимуму или минимуму кривой баланса. Второй закон арксинуса гласит, что максимальная (или минимальная) точка кривой баланса вероятнее всего будет при начальном или конечном бросках, чем в середине игры. Распределение будет таким же, как и в случае со временем, проведенным в одной области!

Если вы бросаете монету N раз, вероятность достижения максимума (или минимума) в точке К на кривой баланса также описывается уравнением (2.13):

Таким образом, если бросить монету 10 раз = 10), мы получим следующие вероятности максимума (или минимума) при К бросках:

к Вероятность

<< | >>

↑

Источник: РАЛЬФ ВИНС. Математика управления капиталом. 2006

Еще по теме Законы арксинуса и случайное блуждание:

- Биржевая деятельность - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги, кредит, банки - Кредитование - Основы финансов - Финансовая математика - Финансовое право - Финансовый менеджмент - Финансы и кредит -