1.7. Финансовые операции со случайными параметрами

Финансиста или экономиста прежде всего будет интере-совать среднее (ожидаемое) значение величины S, т.е. ее математическое ожидание ?{5}. Важной характеристикой 5 является также ее дисперсия D{S} или среднеквадратиче- ское отклонение а = -JD{S}. Чем меньше с, тем более предсказуемым, менее рискованным является значение наращен-ной суммы. В финансовой литературе значение с часто принимают за меру риска финансовой операции.

Наиболее полной вероятностной характеристикой наращенной суммы S является ее функция распределения вероятностей. Если удается аналитически вычислить функцию распределения S, то через нее можно легко подсчитать веро-ятность попадания S в заданный интервал и другие числовые характеристики, такие как E{S} и ст.

Если функцию распределения S не удается вычислить, то в этом случае для оценки числовых характеристик S, как правило, используют методы статистического моделирования [20, 21] и пакеты прикладных программ для моделиро-вания случайных элементов, например ППП СТАТМОД [21].

Приведем некоторые результаты для случая, когда наращенная сумма зависит от случайной ставки процентов.

Для годовой случайной ставки простых процентов і, принимающей на интервале [0, п] заранее неизвестное значение, функция распределения наращенной суммы (1) имеет вид [11]

Ш = (24)

где Fj(x) - функция распределения ставки процентов і.

Для годовой номинальной случайной ставки процентов, принимающей постоянное значение на интервале [0, п] с /п-разо- вым начислениям процентов в году функция распределения наращенной суммы

( (г ч 1 V|

т> ІГ-1 (25)

I ))

где Fj(x) - функция распределения номинальной ставки процентов у.

Используя формулы (24), (25), можно подсчитать все числовые характеристики наращенной суммы S.

Наращенная сумма для переменной ставки простых процентов определяется формулой (5). Будем считать, что ставки процентов г,, i2, ..., im являются независимыми в совокупности случайными величинами. Если г2, ... гт - дискретные случайные величины, то и наращенная сумма S будет также дискретной случайной величиной и вычисление числовых характеристик S не представляет принципиальной трудности. Вычисление числовых характеристик S для дискретных случайных ставок простых процентов ilt i2, ..., im реализовано в ППП ФЭР.

Если ставки простых процентов гt, i2, ..., im являются независимыми в совокупности абсолютно-непрерывными случайными величинами, можно найти плотность распределения наращенной суммы S, последовательно применяя фор-мулу свертки для плотностей [20, 21]. В частности, для двух интервалов постоянства (т = 2) значений ставок простых процентов, распределенных по равномерному закону, т.е. для

/\'і є R(ah fy), г2 є R(a2, b2), і\\, і2~ независимые случайные величины, плотность распределения S имеет "трапецеидальный" вид [11]:

d-pv Щ

2- t3О, X < tu Х~! txmi-"rfli ПИВІ t2— X

d-P

0, x>t4

где ml = mining + n2b2, /гД + n2a2}; d = щ ¦ n2(pi - a{)(b2 - a2); /j = P( 1 + + n2a2); t2 = P(1 + mi); h - + тах-^,^ + n2b2, + /г2а2}), t4 = /J(i + + /22&г).

Используя формулу (26), легко можно подсчитать вероятность попадания S в заданный интервал [Sj, S2] с: г4]( среднее значение S и риск для S.

Рассмотрим теперь случай, когда среди ставок простых процентов i2, ..., im, определенных соответственно на интервалах длительностью П[, л2, ..., одна часть ставок про-

центов описывается абсолютно непрерывными распределениями, а другая - дискретными распределениями и ставки ij, г2, ..., im ~ независимые в совокупности случайные величины. Последовательно используя формулу свертки для плотностей, линейную комбинацию абсолютно-непрерывных случайных величин сведем к одной абсолютно-непрерывной случайной величине. А так как линейная комбинация дискретных, случайных величин является дискретной, случайной величиной, то, не ограничивая общности рассуждений, можно рассмотреть случай двух интервалов постоянства ставок процентов г",, г2. Для определенности рассуждений предположим, что г\'| имеет плотность распределения а

г2 _ дискретная, случайная величина, имеющая следующее распределение:\r\nh г\\ г2 ... rs\r\nр Pi Р2 Ps\r\n

Используя формулу полной вероятности, получаем, что функция распределения наращенной суммы имеет вид [11]

Формула (27) позволяет легко вычислить вероятность попадания наращенной суммы в заданный интервал [Sj, S2]: P(SlРассмотрим теперь ситуацию, когда ставки простых процентов і\