1.8. Задачи и примеры

Ссуда в 225 тыс.

Владелец векселя на 175,5 тыс. $ с датой погашения 30.10 решил учесть его в банке 17.05. Банк Л согласен учесть вексель по ставке 8,5%, а банк В - по ставке 8,4% годовых. Какой банк предпочтет держатель векселя и почему? Какую сумму условно потеряет векселедержатель, если он выберет неправильную тактику? Временная база К = 360 дней.

Цена товара увеличилась на 25%. Насколько процентов её необходимо уменьшить, чтобы получить первоначальную цену?

На сумму в 2255$ в течение 8 месяцев начисляются простые проценты. Базовая ставка 5% годовых повышается каждый месяц, начиная со второго, на 0,5%, временная база К = 360. Чему будут равны наращенная сумма и средняя процентная ставка?

Какую сумму следует положить на депозит 18.03 под 8,75 простых годовых процентов, чтобы 14.11 накопить 1800$, если используются: а) точные проценты, б) используются обыкновенные проценты? (К = 365).

Какая должна быть ставка простых годовых процен-тов для того, чтобы сумма долга, взятого 11.04, увеличилась бы на 25% к 17.12, если используются: а) точные проценты; б) обыкновенные проценты? (К = 365).

По годовому депозиту назначена ставка 12% годовых. Какую ставку годовых процентов нужно назначить на полугодовой депозит, чтобы последовательное переоформление полугодового депозита привело бы к такому же результату, что и при использовании годового депозита? (К = 360).

Указание: пренебречь одним днем, который теряется при переоформлении полугодового депозита.

Кредит в сумме 100 тыс.

Кредит в сумме 120 тыс. $ выдан 10.01 по 16.09 включительно, под 10,5% годовых (обыкновенные проценты). В счет погашения долга 21.05 уплачено 80 тыс. $. Какую сумму нужно вернуть 16.09?

Указание: использовать правило торговца, т.е. сумму в 80 тыс. $ "вывести" на дату 16.09.

На первоначальную сумму в 580$ в течение 2,5 лет начисляются проценты по годовой ставке 8,75%. Насколько больше будет наращенная сумма, вычисленная по смешанному методу, чем по общему методу, если К = 360 дней?

Через сколько лет первоначальная сумма увеличится в 1000 раз, если на нее начисляются сложные годовые проценты по ставке 12% при: а) начислении процентов в конце года; б) ежемесячном начислении процентов?

Запас древесины лесного массива в данный момент, оценивается в 1 млн. м3. Каков будет запас древесины через 50 лет при годовой силе роста 10%?

На первоначальную сумму в течение 5 лет начис-ляются сложные годовые проценты по ставке 12% раз в конце года. Во сколько раз вырастет наращенная сумма, если проценты будут начисляться ежемесячно?

На пять лет под 8,5 сложных годовых процентов выдана ссуда в 1000$. В счет погашения долга в конце второго года внесено 1100$, которые пошли на уплату про-центов, накопленных к этому сроку, а остальная сумма - на погашение основного долга, т.е. использовался актуарный метод погашения задолженности. Какую сумму следует уплатить в конце пятого года, чтобы полностью погасить задолженность?

Кредит выдан на 5 лет под 8% годовых, начисление процентов в конце года. Какую номинальную годовую ставку процентов необходимо назначить, чтобы получить к концу пятого года ту же наращенную сумму при поквартальном начислении процентов? Будет ли зависеть эта номинальная ставка от срока ссуды?

На сумму долга в течение 2 лет начисляются слож-ные проценты по ставке 8,7% годовых.

Кредит в сумме 2500 $ выдан на 8 лет. Сложная ставка годовых процентов менялась от периода к периоду: на протяжении первых 3 лет действовала ставка 7,5%, в следующие 3 года - 8%, в последнем периоде - 8,2%. Какую сумму нужно вернуть в конце восьмого года? Чему равна средняя ставка сложных процентов?

Чему будет равна годовая ставка сложных процентов, эквивалентная ставке непрерывных процентов из задачи 1.13?

Министр финансов Российской Федерации Б. Федоров, выступая в Думе в январе 1995 г., отметил, что месячный темп инфляции в России составляет 5%, и предупредил, что если такой темп инфляции сохранится, то в год он составит около 80%. Оппоненты обвинили Б. Федорова в том, что он "плохо" считает: говорит о 80%, а не о 60%. Кто же прав? Чему же точно равен темп инфляции за год при постоянном месячном темпе в 5%?

Остров Манхэттен был "куплен" в 1624 г. у индейского вождя за 24 $ ([23], с. 37). Стоимость земли этого острова 350 лет спустя оценивалась в 40 млрд. $. При какой ставке годовых процентов возможен такой рост?

На годовом рублевом депозите ставка процентов составляет 45% годовых. Месячный темп инфляции в пер-вом полугодии был постоянен и составил 4,7% в месяц, во втором полугодии - 5% в месяц. Во сколько раз возрастет реальная наращенная сумма депозита за год?

Месячные темпы роста инфляции за предшествующие полгода характеризуются следующим рядом: 3,05, 3,07, 3,24, 3,29, 3,42, 3,53%, т.е. отмечался устойчивый рост инфляции. Исходя из линейного прогноза месячных темпов инфляции, укажите годовую ставку простых процентов, обеспечивающую реальный рост долга по трехмесячному кредиту в 3,5% годовых.

Свободные денежные средства в сумме 300 тыс. рублей планируется поместить на трёхмесячный депозит. В данный момент обменный пункт покупает доллары по 2150 руб., а продает по 2165 руб. Ставка процентов по трёхмесячным депозитам составляет: 14% годовых по рублёвым вкладам и 3% годовых по долларовым.

На депозит на 3 месяца положили 1 млн. руб. под 36% годовых, К = 360. Проценты простые. Есть основания считать, что с равной вероятностью темп инфляции за это время составит от 2 до 4%. Чему будет равно среднее ожи-даемое значение реальной наращенной суммы депозита?

Исходя из условий предыдущей задачи подсчитайте вероятность попадания реальной наращенной суммы в интервал от 1049000 руб. до 1065000 руб.

Планируется положить на трехмесячный депозит 10 млн. руб. В данный момент курс покупки доллара составляет 30 110 рублей. За предыдущие 10 месяцев курс долла-ра рос и составил следующий временной ряд (в рублях): 15500,21000, 22800, 24850, 26730, 26980, 27180,27430, 27880, 28800. Ставка процентов на рублевом депозите - 50%, а на долларовом - 5% годовых. Основываясь на степенном прогнозе [21] курса доллара, решить вопрос, что выгоднее: поместить денежные средства на рублевый или долларовый депозит с двойной конверсией? Чему будет равна наращенная сумма депозита при наилучшем варианте помещения денежных средств?

На первоначальную сумму денег в течение п лет начисляются сложные проценты по годовой ставке 10%.

Насколько процентов возрастет сумма при переходе к ежедневной капитализации процентов (К = 365) для: а) п - 4; б) п = 8?

На начальную сумму в 1000 $ в течение 4 лет начисляются каждые полгода сложные проценты по номинальной ставке 5%. Насколько увеличится или уменьшится наращенная сумма, если номинальная ставка и число периодов капитализации процентов возрастут вдвое?

Начальное значение силы роста равно 8%. Ежегодный абсолютный прирост составлял 2% в течение 5 лет, затем в течение последующих 5 лет происходило линейное падение силы роста на 1 % в год. Чему будет равен множитель наращения за 10 лет?

Четыре платежа: 10,5 тыс., 12 тцс;., 8,4тыс.

Четыре платежа из условий предыдущей задачи решено консолидировать в один платеж 5, выплачиваемый 1.03. При консолидации используется ставка 9,25 простых годовых процентов. Базовая дата - 1.03; временная база К = 365 дней. Какова величина S?

По условиям предыдущей задачи консолидация платежей производится на основе банковской учетной ставки 9,25% годовых, К = 365 дней. Какова величина S?

33

2 Чак. 2410

Ссуда в размере 100 тыс. $ выдана на 90 дней под 8,5% точных, простых годовых процентов, К = 366 дней. Однако она не была возвращена в намеченный срок, а была погашена спустя 13 дней, не считая даты погашения. Какую сумму следует вернуть, если за просроченное время на сумму возврата долга начислялись точные, простые проценты по ставке 10 % годовых?

При сохранении условий задачи 1.31 четыре платежа решено погасить одним платежом в сумме 38,5 тыс. $. Консолидация производится на основе годовой ставки в

простых процентов. Определите дату уплаты консоли-дированного платежа.

Имеются три векселя с датами погашения, указанными в скобках, на сумму 12,5 тыс. (8.04); 7,25 тыс. (15.07) и 10,3 тыс. $ (23.11). Решено учесть их в банке 3.03. Банк учитывает векселя по ставке 8,2% годовых со сроками до погашения от 250 до 360 дней, по ставке 7,8% со сроками до погашения от 130 до 249 дней и по ставке 6% годовых для векселей со сроками погашения от 30 до 129 дней. Какую сумму получит владелец векселей, если учтет их одновременно в банке, К = 360?

Три векселя (условия их погашения приведены в задаче 1.36) решено заменить одним векселем в сумме 31 тыс.

Три векселя (условия их погашения приведены в задаче 1.36) решено заменить одним векселем, в котором необходимо указать целое число тысяч долларов. Замена производится на основе банковской учетной ставки 8,2% годовых, К = 360. Каково минимальное допустимое значение этой суммы, при которой возможна подобная замена? Укажите дату погашения векселя с найденным значением минимально допустимой суммы.

Платежи в сумме 8,25 тыс., 10,05 тыс. и 25,45 тыс. $ со сроками оплаты соответственно через 2; 3,5 и 4 года решили заменить одним платежом в сумме S, выплачивае-мым через 4,5 года. Подобная замена производится по сложной ставке 8,75% годовых.. Чему равна сумма S? Зависит ли сумма S от выбора базовой даты?

Платежи из предыдущей задачи решили заменить одним платежом в размере 44 тыс. $ на основе сложной ставки 8,75% годовых. Через сколько лет должен быть оплачен этот консолидированный платеж?

Имеется обязательство оплатить 16.03 S, = 8,4 тыс. $,

S2= 16,3 тыс. $ и 20.11 S3 = 7,2 тыс. $. Решено на основе простой ставки процентов 6,5 годовых (К = 365) изменить порядок оплаты: 30% от ^ + S2 + S3 выплачивается 15.07, а остальная задолженность R гасится 30.11. Определить величину R для случая, когда: а) в качестве базовой даты берется 15.07; б) базовая дата - 30.11.

По финансовому обязательству необходимо оплатить 120 тыс. $ через 4,5 года. На основе сложной ставки процентов 9,5 годовых решено изменить порядок оплат: задолженность погашается тремя равными частями S0 через год, два и три года. Чему равно S0?

Фирма планирует через месяц положить в банк на депозит часть своих доходов на 6 месяцев под 10 простых годовых процентов. Предполагается, что удастся положить в банк некоторую сумму от 100 до 200 тыс. $. Требуется определить вероятность попадания наращенной суммы 5 в интервал (150 тыс. $,210 тыс. $], 5min, Smax, ?{S}, о = sjD{S} для следующих двух ситуаций: а) первоначальная сумма Р имеет равномерное распределение в интервале [100 тыс., 200 тыс.]; б) сумма Р распределена по "треугольному" распределению в интервале [100 тыс., 200 тыс.], т.е. макси-мальное значение плотности распределения вероятностей соответствует середине интервала, на концах интервала ее значение равно нулю.

Фирма планирует положить через месяц на депозит 100 тыс. $ на полгода. Ориентируясь на то, что в дан-ный момент на такую сумму денег начисляют 10 простых годовых процентов, можно предположить, что ставка процентов будет находиться в интервале [9,9%, 10,1%]. Вычис-лить вероятность попадания наращенной суммы S в интервал [104,95 тыс. $, 105тыс. $], Smin, Smax, ?{S}, с для следующих двух ситуаций: а) ставка процентов равномерно распределена в интервале [9,9%, 10,1%]; б) ставка процентов распределена по "треугольному" распределению в интервале [9,9%, 10,1%].

Некто имеет 900 $. Что для него выгоднее, положить эту сумму в банк на год под 8% годовых или купить за 900 $ вексель с номиналом 950 $ и погашением через год? Чему равна доходность покупки векселя, измеренная в виде годовой ставки процентов?

n

Вексель был куплен за 850 $. Через 3 месяца он был продан за 920 $. Какова доходность этой операции купли-продажи, измеренная в виде годовой ставки простых процентов, К = 360 ?

Финансовый директор фирмы планирует через месяц положить на депозит в банк 50 тыс. либо 100 тыс. $ на полгода. Годовая ставка простых процентов і зависит от размера суммы. Совместное распределение начальной суммы Р и ставки процентов і приведено в табл. 1.1.

Таблица 1.1\r\nР, тыс. $ i,% Вероятность\r\n 2 0.1\r\n50 3 0,1\r\n 4 0.4\r\n 4 0,05\r\n100 6 0.3\r\n 8 0,05\r\n

Определите вероятность попадания наращенной суммы S в интервал [60 тыс. $, 103 тыс.$], Smm, Smax, ?{S} а = урЩ.

Вексель в сумме 1200$ должен быть оплачен через 160 дней. Какую сумму Р{ в среднем получит владелец векселя, если учтет его в банке через 15 дней? Есть основания считать, что с равной вероятностью учетная ставка будет лежать в пределах 6-7% годовых. Какова вероятность, что полученная сумма Р будет лежать в пределах 1168-1170 $? Чему будет равен риск о данной финансовой операции? Временная база - 360 дней.

Запланировано в начале второго квартала положить в банк 100 тыс. $ до конца года. Обычно в данном банке ставки процентов по краткосрочным кредитам корректируют в начале каждого квартала. Есть основания считать, что годовые ставки простых процентов г2, і3, г4, соответственно, во втором, третьем и четвертом кварталах являются

независимыми случайными величинами с дискретными распределениями:\r\n, % 6 6,1 6,2 Вычислите вероятность попадания наращенной суммы S в интервал [104550$, 104600$], Smin, Smax, E{S}, а =

Планируется положить через некоторое время в банк на депозит 1 млн. $ сроком на 1 год. Ожидается, что с равной вероятностью в первом полугодии простая процентная ставка будет находиться в пределах 5-6% , а во втором полугодии - в пределах 5,5-7%. К концу срока депозита определите характеристики наращенной суммы S: Smin, Smax, E{S}, с = y/D{S}, вероятность попадания 5 в интервал [1,055 млн. $, 1,06 млн. $].

Планируется через месяц положить на год в банк 1 млн. $. Предполагается, что в первые полгода простая годовая ставка процентов будет постоянной и будет описываться равномерно распределенной случайной величиной в интервале [6%, 7%], во втором полугодии с равной вероятностью может принять значения 7,5% и 8%. Вычислить вероятность попадания наращенной суммы S в интервал 11,06 млн. $; 1,07 млн. $], Smin> Smax, ?{5}, а =у[Щ}.

В начале следующего года планируется положить на депозит 500 тыс. $ на год. Простая годовая ставка процентов может меняться в начале каждого квартала. Эксперты считают, что годовые ставки процентов г( - ї4, исполь-зуемые, соответственно, в первом - четвертом кварталах, являются независимыми равномерно распределенными величинами в интервалах [6%; 6,5%], [6,25%; 7%], [6,75%; 8%], (7,5%; 8,5%]. Смоделируйте выборку объема 100 из распределения величин г\'] - /4 и на ее основе оцените среднее значение наращенной суммы, вероятность попадания наращенной суммы в следующий интервал [534 тыс. $, 537 тыс. $].

Предполагается положить на депозит 100 тыс. $ либо на год, с вероятностью 0,7 под 6% годовых, либо на два года, с вероятностью 0,2 под 6,5% годовых или на три года с вероятностью 0,1 под 7% годовых. Определите среднее значение наращенной суммы S, вероятность попадания S в интервал [107 тыс. $, 120 тыс. $], Smin, Smax, с = JD{S}.

Планируется в начале следующего года положить в банк 200 тыс. $ на 3 года под сложные проценты. Ставка процентов в банке корректируется в начале года и затем, на протяжении всего года, остается постоянной. Есть основания считать, что годовая ставка процентов i(t) = f(t) + где f(t) = 0,05 + 0,001/ - тренд, характеризующий общую тенденцию изменения ставок процентов, %t - маржа, изменяющаяся по цепной зависимости Маркова, с двумя состояниями. Значение t = 0 соответствует началу начисления процентов. В первом состоянии принимает значение 0,005, во втором - значение 0,01. Вектор начальных состояний тс = (1; 0), матрица одношаговых переходов имеет следующие компоненты: рп = 0,8; р12 = 0,2; р>21 = 0,1; р22 = 0,9. Определите Smin, Smax наращенной суммы 5, вероятность попадания S в интервал [235,6 тыс. $, 236,7 тыс. $], среднее значение S, о = ~JD{S}.

В условиях предыдущей задачи вектор начальных состояний к = (0,8; 0,2) и неизвестно, с какого состояния начинает свое движение цепь Маркова. Остальные условия остаются неизменными. Определите те же характеристики 5, что и в предыдущей задаче.

В условиях задачи 1.54 годовая ставка сложных процентов корректируется в начале каждого полугодия. Остальные условия те же, что и в 1.54. Вычислите параметры наращенной суммы S из задачи 1.54.

Указание: воспользоваться ППП ФЭР.

Планируется в начале следующего года положить в банк на депозит 200 тыс. $ на три квартала. Ставка простых процентов корректируется в начале каждого квартала и в течение квартала остается постоянной. Есть основания счи-тать, что годовая ставка i(t) = f(t) + ^ , где f{t) = 0,05 + 0,001 • t ~ тренд; ^ - маржа, изменяющаяся по цепной зависимости Маркова. Параметры цепи те же, что и в задаче 1.54. Вычислите параметры наращенной суммы S: Smin, Smax, вероятность попадания S в интервале [208200$, 208500$], среднее значение S и риск финансовой операции а = -JD{S}.

1.58. В условиях предыдущей задачи ставка простых процентов корректируется в начале каждого месяца и в течение месяца остается постоянной, К = 360. Вычислите параметры наращенной суммы S из задачи 1.57.